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Paula López Aguilar
16/12/2025
Matemáticas
Continuidad y derivabilidad
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16 dic 2025
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Paula López Aguilar
@paula__.15
La continuidad y derivabilidad son conceptos fundamentales del cálculo que... Mostrar más
¿Sabes cuándo una función es continua en un punto? Es súper sencillo: cuando el valor de la función coincide con los límites laterales en ese punto. Si alguno de estos tres valores no coincide, ya tienes discontinuidad.
Para comprobar la continuidad en x = a, tienes que calcular tres cosas: f(a), el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Si los tres dan el mismo resultado, la función es continua ahí.
Con las funciones a trozos (esas que tienen diferentes fórmulas según el valor de x), solo tienes que estudiar la continuidad en los puntos donde cambia la fórmula. Es donde suelen aparecer los problemas.
¡Ojo! Cuando te piden hallar los valores de a y b para que una función sea continua, solo tienes que igualar los límites laterales con el valor de la función en los puntos conflictivos.
Una función es derivable en un punto cuando las derivadas laterales coinciden. Pero ojo: si una función no es continua en un punto, nunca podrá ser derivable ahí. La continuidad es requisito previo para la derivabilidad.
Existen tres tipos principales de discontinuidades. La discontinuidad evitable ocurre cuando los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función (como un "agujero" en la gráfica).
La discontinuidad asintótica se da cuando ambos límites laterales van a infinito. Es lo que pasa cerca de las asíntotas verticales, donde la función se dispara hacia arriba o abajo.
Truco para exámenes: Para problemas de continuidad y derivabilidad con parámetros, primero resuelve la continuidad (más fácil) y después usa esos valores para calcular la derivabilidad.
Las discontinuidades de primera especie aparecen cuando los límites laterales no coinciden entre sí. Pueden ser de dos tipos: salto finito (si ambos límites son números distintos) o salto infinito (si uno de los límites es infinito).
En las discontinuidades de salto finito, la función literalmente "salta" de un valor a otro. Es típico de las funciones a trozos mal definidas. En las de salto infinito, uno de los límites se va a infinito mientras el otro no.
Las discontinuidades de segunda especie son las más chungas: ocurren cuando alguno de los límites laterales directamente no existe. Como pasa con la raíz cuadrada en números negativos.
Para recordar: Primera especie = límites existen pero no coinciden. Segunda especie = algún límite no existe. Asintótica = ambos límites van a infinito. Evitable = límites coinciden pero no con f(a).
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Mar
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Paula López Aguilar
@paula__.15
La continuidad y derivabilidad son conceptos fundamentales del cálculo que te van a salir en el examen seguro. En pocas palabras: una función es continua cuando no tiene "saltos" o "agujeros", y es derivable cuando además no tiene "picos" o... Mostrar más
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¿Sabes cuándo una función es continua en un punto? Es súper sencillo: cuando el valor de la función coincide con los límites laterales en ese punto. Si alguno de estos tres valores no coincide, ya tienes discontinuidad.
Para comprobar la continuidad en x = a, tienes que calcular tres cosas: f(a), el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Si los tres dan el mismo resultado, la función es continua ahí.
Con las funciones a trozos (esas que tienen diferentes fórmulas según el valor de x), solo tienes que estudiar la continuidad en los puntos donde cambia la fórmula. Es donde suelen aparecer los problemas.
¡Ojo! Cuando te piden hallar los valores de a y b para que una función sea continua, solo tienes que igualar los límites laterales con el valor de la función en los puntos conflictivos.
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Una función es derivable en un punto cuando las derivadas laterales coinciden. Pero ojo: si una función no es continua en un punto, nunca podrá ser derivable ahí. La continuidad es requisito previo para la derivabilidad.
Existen tres tipos principales de discontinuidades. La discontinuidad evitable ocurre cuando los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función (como un "agujero" en la gráfica).
La discontinuidad asintótica se da cuando ambos límites laterales van a infinito. Es lo que pasa cerca de las asíntotas verticales, donde la función se dispara hacia arriba o abajo.
Truco para exámenes: Para problemas de continuidad y derivabilidad con parámetros, primero resuelve la continuidad (más fácil) y después usa esos valores para calcular la derivabilidad.
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Las discontinuidades de primera especie aparecen cuando los límites laterales no coinciden entre sí. Pueden ser de dos tipos: salto finito (si ambos límites son números distintos) o salto infinito (si uno de los límites es infinito).
En las discontinuidades de salto finito, la función literalmente "salta" de un valor a otro. Es típico de las funciones a trozos mal definidas. En las de salto infinito, uno de los límites se va a infinito mientras el otro no.
Las discontinuidades de segunda especie son las más chungas: ocurren cuando alguno de los límites laterales directamente no existe. Como pasa con la raíz cuadrada en números negativos.
Para recordar: Primera especie = límites existen pero no coinciden. Segunda especie = algún límite no existe. Asintótica = ambos límites van a infinito. Evitable = límites coinciden pero no con f(a).
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Julyana
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Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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