La continuidad y derivabilidad son conceptos fundamentales del cálculo que... Mostrar más
Matemáticas678 visualizaciones·Actualizado May 29, 2026·3 páginasConceptos de Continuidad y Derivabilidad
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Paula López Aguilar@paula__.15
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Continuidad de una función
¿Sabes cuándo una función es continua en un punto? Es súper sencillo: cuando el valor de la función coincide con los límites laterales en ese punto. Si alguno de estos tres valores no coincide, ya tienes discontinuidad.
Para comprobar la continuidad en x = a, tienes que calcular tres cosas: f(a), el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Si los tres dan el mismo resultado, la función es continua ahí.
Con las funciones a trozos (esas que tienen diferentes fórmulas según el valor de x), solo tienes que estudiar la continuidad en los puntos donde cambia la fórmula. Es donde suelen aparecer los problemas.
¡Ojo! Cuando te piden hallar los valores de a y b para que una función sea continua, solo tienes que igualar los límites laterales con el valor de la función en los puntos conflictivos.
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Derivabilidad y tipos de discontinuidades
Una función es derivable en un punto cuando las derivadas laterales coinciden. Pero ojo: si una función no es continua en un punto, nunca podrá ser derivable ahí. La continuidad es requisito previo para la derivabilidad.
Existen tres tipos principales de discontinuidades. La discontinuidad evitable ocurre cuando los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función (como un "agujero" en la gráfica).
La discontinuidad asintótica se da cuando ambos límites laterales van a infinito. Es lo que pasa cerca de las asíntotas verticales, donde la función se dispara hacia arriba o abajo.
Truco para exámenes: Para problemas de continuidad y derivabilidad con parámetros, primero resuelve la continuidad (más fácil) y después usa esos valores para calcular la derivabilidad.
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Discontinuidades de primera y segunda especie
Las discontinuidades de primera especie aparecen cuando los límites laterales no coinciden entre sí. Pueden ser de dos tipos: salto finito (si ambos límites son números distintos) o salto infinito (si uno de los límites es infinito).
En las discontinuidades de salto finito, la función literalmente "salta" de un valor a otro. Es típico de las funciones a trozos mal definidas. En las de salto infinito, uno de los límites se va a infinito mientras el otro no.
Las discontinuidades de segunda especie son las más chungas: ocurren cuando alguno de los límites laterales directamente no existe. Como pasa con la raíz cuadrada en números negativos.
Para recordar: Primera especie = límites existen pero no coinciden. Segunda especie = algún límite no existe. Asintótica = ambos límites van a infinito. Evitable = límites coinciden pero no con f(a).
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Paula López Aguilar@paula__.15
La continuidad y derivabilidad son conceptos fundamentales del cálculo que te van a salir en el examen seguro. En pocas palabras: una función es continua cuando no tiene "saltos" o "agujeros", y es derivable cuando además no tiene "picos" o... Mostrar más
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Una función es derivable en un punto cuando las derivadas laterales coinciden. Pero ojo: si una función no es continua en un punto, nunca podrá ser derivable ahí. La continuidad es requisito previo para la derivabilidad.
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Las discontinuidades de primera especie aparecen cuando los límites laterales no coinciden entre sí. Pueden ser de dos tipos: salto finito (si ambos límites son números distintos) o salto infinito (si uno de los límites es infinito).
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