Optimización de Cajas: Conceptos y Ejercicios

Planteamiento del Problema de Optimización

Imagínate que tienes que construir un granero con la menor cantidad de material posible, pero con un volumen específico. Este tipo de problemas aparece constantemente en selectividad y es más fácil de lo que parece.

Para resolverlo, necesitas identificar dos cosas clave: la condición (lo que te dan como dato fijo) y la función a optimizar (lo que quieres minimizar o maximizar). En este caso, el volumen es fijo (2048 m³) y queremos minimizar el área total.

La condición es: x²y = 2048 (donde x es el lado de la base cuadrada e y la altura). La función a optimizar es el área total: F(x,y) = x² + 4xy (base más las cuatro paredes laterales).

Truco clave: Siempre despeja la variable más sencilla de la condición. Aquí despejamos y: y = 2048/x²

Resolución y Cálculo del Mínimo

Ahora sustituyes lo que despejaste en la función a optimizar. Esto te da una función de una sola variable: F$x$ = x² + 8192/x. Ya no tienes que lidiar con dos variables, ¡mucho más fácil!

Para encontrar el mínimo, haces la primera derivada e igualas a cero: F'$x$ = 2x - 8192/x² = 0. Resolviendo esta ecuación obtienes x = 16.

La segunda derivada te confirma si es máximo o mínimo: F''$x$ = 2 + 16384/x³. Como F''(16) = 6 > 0, tienes un mínimo. Perfecto, es justo lo que buscabas.

Finalmente, calculas y = 2048/16² = 8, y sustituyes en la fórmula del área: A = 16² + 4(16)(8) = 768 m².

Consejo: Si F''$x$ > 0 es mínimo, si F''$x$ < 0 es máximo. ¡No te líes con los signos!