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Matemáticas

8 dic 2025

676

10 páginas

Apuntes completos de Matemáticas CCSS 2º Bachillerato

Zaira Ortigosa gamazo @zairaortigosaga

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TEORÍA
LÍMITES
Lim F(x)
xa
resuelvo
5:00 tenemos que hacer límites laterales
[응] indeterminacións Factorizamos numerador y denominador.
K Re

Límites y Continuidad

Los límites son la base para entender cómo se comporta una función cerca de un punto. Cuando te encuentres con indeterminaciones como 0/0 o ∞/∞, simplemente factoriza el numerador y denominador para simplificar.

Para que una función sea continua en x=a, necesitas tres cosas que f(a) exista, que el límite exista, y que ambos sean iguales. Las discontinuidades pueden ser evitables (cuando existe el límite pero no coincide con f(a)) o de segunda especie (cuando no existen los límites laterales).

Las asíntotas te muestran el comportamiento extremo de las funciones. Para asíntotas verticales, busca valores fuera del dominio. Para horizontales, calcula el límite cuando x tiende a infinito. Las oblicuas aparecen cuando no hay horizontales encuentra m y n usando las fórmulas correspondientes.

Truco importante Los teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass te garantizan la existencia de soluciones en intervalos cerrados cuando hay continuidad.

Derivadas y Aplicaciones

Las reglas de derivación son tu herramienta básica constante da cero, x da 1, suma se deriva término a término. Para productos usa la regla del producto, para cocientes la del cociente. No olvides la regla de la cadena para funciones compuestas.

La ecuación de la recta tangente en x=a es y-f(a)=f'(a) $x-a$ . Para la normal, usa la pendiente inversa y negativa y-f(a)=-1/f'(a)· $x-a$ . Calcula primero el punto, luego la derivada, después la pendiente y aplica la fórmula.

El estudio de la monotonía se hace con la primera derivada donde f'(x)>0 la función crece, donde f'(x)<0 decrece. Para la curvatura usa la segunda derivada f''(x)>0 indica convexidad, f''(x)<0 concavidad. Los puntos de inflexión aparecen donde cambia el signo de f''(x).

Dato clave Los teoremas de Rolle y Lagrange conectan las derivadas con propiedades geométricas de las funciones.

Probabilidad Básica

La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso. El espacio muestral E contiene todos los resultados posibles. Usa las Leyes de Morgan para trabajar con complementarios el complementario de una unión es la intersección de los complementarios.

Las propiedades básicas son fundamentales P(∅)=0, cualquier probabilidad es ≤1, y P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). La regla de Laplace es casos favorables entre casos posibles, pero solo funciona cuando todos los casos son equiprobables.

En probabilidad condicionada, si A y B son independientes entonces P(A∩B)=P(A)·P(B). Si son dependientes, P $A/B$ =P(A∩B)/P(B). El teorema de Bayes y la probabilidad total te ayudan a resolver problemas complejos con sistemas completos de sucesos.

Consejo Para distribuciones bidimensionales, calcula primero las medias marginales, luego varianzas y covarianza para obtener el coeficiente de correlación.

Distribuciones y Estadística

La distribución binomial aparece cuando tienes experimentos con solo dos resultados posibles, probabilidad constante e independencia entre pruebas. Se denota X~B(n,p) con media μ=np y varianza σ²=npq.

Para aproximar la binomial a la distribución normal, aplica la corrección por continuidad P $X=a$ se convierte en P $a-0.5<X'<a+0.5$ . Tipifica usando z= $x-μ$ /σ para consultar las tablas.

Los intervalos de confianza estiman parámetros poblacionales. Para la media usa IC= $x̄-E, x̄+E$ donde E=z_{α/2}·σ/√n. Para proporciones, E=z_{α/2}·√ $p(1-p)/n$ . El nivel de confianza determina z_{α/2} que buscas en las tablas.

Importante Un sistema de ecuaciones lineales puede ser compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (sin solución).

Matrices Conceptos Básicos

Las matrices son tablas rectangulares de números organizadas en filas y columnas. Una matriz de dimensión n×p tiene n filas y p columnas. Puedes tener matrices fila (1×n), columna (n×1), cuadradas (n×n), o especiales como la diagonal, escalar o nula.

Para operar con matrices, en la suma y resta necesitas la misma dimensión. Para multiplicar escalares, multiplicas cada elemento. En el producto de matrices, el número de columnas de la primera debe igualar el número de filas de la segunda.

Las potencias de matrices solo se calculan con matrices cuadradas. Si una matriz es cíclica, sus potencias se repiten encuentra el periodo calculando potencias hasta obtener la identidad, luego divide el exponente entre el periodo.

Truco útil Para resolver sistemas matriciales como A+2B=C, despeja las matrices igual que harías con números normales.

Determinantes y Matriz Inversa

El determinante de una matriz cuadrada es un número que te da información crucial. Para orden 2 es ad-bc. Para orden 3 usa la regla de Sarrus o desarrolla por una fila o columna.

Las propiedades de los determinantes te facilitan los cálculos si intercambias filas cambia el signo, si una fila es combinación lineal de otras el determinante es cero, si multiplicas una fila por k el determinante queda multiplicado por k.

Una matriz tiene inversa solo si su determinante es distinto de cero. Para calcularla halla el determinante, calcula la matriz adjunta de la traspuesta, y divide cada elemento por el determinante.

Fundamental |A·B|=|A|·|B| y para que exista A⁻¹ necesitas |A|≠0.

Ecuaciones Matriciales

Para resolver ecuaciones matriciales, despeja la matriz incógnita como si fuera un número, pero cuidado las matrices no conmutan. Si X·A=B, entonces X=B·A⁻¹. Si A·X=B, entonces X=A⁻¹·B.

Cuando no puedes despejar directamente, describe la matriz incógnita con variables (a,b,c,...), efectúa las operaciones y usa la igualdad de matrices para crear un sistema de ecuaciones.

Para ecuaciones con determinantes, calcula el determinante en función de la incógnita y resuelve la ecuación resultante. A veces necesitarás cambios de variable para simplificar.

Clave El rango de una matriz es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes, y determina la compatibilidad de los sistemas.

Sistemas de Ecuaciones

El Teorema de Rouché-Frobenius es tu herramienta principal para clasificar sistemas. Si rang(A)=rang(C), el sistema es compatible. Si además iguala al número de incógnitas, es determinado; si no, indeterminado.

La regla de Cramer se aplica cuando tienes igual número de ecuaciones que incógnitas y |A|≠0. Cada incógnita es el cociente de determinantes el denominador es |A|, el numerador se obtiene sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes.

Para resolver matricialmente, escribe C·X=B y despeja X=C⁻¹·B. Calcula la inversa de la matriz de coeficientes y multiplica por el vector de términos independientes.

Estrategia En sistemas con parámetros, primero encuentra para qué valores el determinante se anula, luego estudia cada caso por separado.

Discusión de Sistemas Paramétricos

Para discutir sistemas con parámetros, calcula primero el determinante de la matriz de coeficientes y encuentra sus raíces. Para valores donde el determinante no se anule, el sistema será compatible determinado.

Para los valores que anulan el determinante, usa el método de Gauss para estudiar cada caso. Transforma el sistema a forma escalonada y compara los rangos de las matrices.

La clasificación final depende de los rangos compatible determinado si rang(A)=rang(C)=número de incógnitas, compatible indeterminado si rang(A)=rang(C)<número de incógnitas, incompatible si rang(A)≠rang(C).

Consejo práctico Para sistemas 3×2 con parámetros, el determinante de la matriz ampliada te ayuda a identificar cuándo el sistema es incompatible.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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Límites y Continuidad

Para que una función sea continua en x=a, necesitas tres cosas: que f(a) exista, que el límite exista, y que ambos sean iguales. Las discontinuidades pueden ser evitables (cuando existe el límite pero no coincide con f(a)) o de segunda especie (cuando no existen los límites laterales).

Las asíntotas te muestran el comportamiento extremo de las funciones. Para asíntotas verticales, busca valores fuera del dominio. Para horizontales, calcula el límite cuando x tiende a infinito. Las oblicuas aparecen cuando no hay horizontales: encuentra m y n usando las fórmulas correspondientes.

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Las reglas de derivación son tu herramienta básica: constante da cero, x da 1, suma se deriva término a término. Para productos usa la regla del producto, para cocientes la del cociente. No olvides la regla de la cadena para funciones compuestas.

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El estudio de la monotonía se hace con la primera derivada: donde f'(x)>0 la función crece, donde f'(x)<0 decrece. Para la curvatura usa la segunda derivada: f''(x)>0 indica convexidad, f''(x)<0 concavidad. Los puntos de inflexión aparecen donde cambia el signo de f''(x).

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Probabilidad Básica

La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso. El espacio muestral E contiene todos los resultados posibles. Usa las Leyes de Morgan para trabajar con complementarios: el complementario de una unión es la intersección de los complementarios.

Las propiedades básicas son fundamentales: P(∅)=0, cualquier probabilidad es ≤1, y P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). La regla de Laplace es casos favorables entre casos posibles, pero solo funciona cuando todos los casos son equiprobables.

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Distribuciones y Estadística

Para aproximar la binomial a la distribución normal, aplica la corrección por continuidad: P $X=a$ se convierte en P $a-0.5<X'<a+0.5$ . Tipifica usando z= $x-μ$ /σ para consultar las tablas.

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Matrices: Conceptos Básicos

Las potencias de matrices solo se calculan con matrices cuadradas. Si una matriz es cíclica, sus potencias se repiten: encuentra el periodo calculando potencias hasta obtener la identidad, luego divide el exponente entre el periodo.

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Determinantes y Matriz Inversa

El determinante de una matriz cuadrada es un número que te da información crucial. Para orden 2 es ad-bc. Para orden 3 usa la regla de Sarrus o desarrolla por una fila o columna.

Las propiedades de los determinantes te facilitan los cálculos: si intercambias filas cambia el signo, si una fila es combinación lineal de otras el determinante es cero, si multiplicas una fila por k el determinante queda multiplicado por k.

Una matriz tiene inversa solo si su determinante es distinto de cero. Para calcularla: halla el determinante, calcula la matriz adjunta de la traspuesta, y divide cada elemento por el determinante.

Fundamental: |A·B|=|A|·|B| y para que exista A⁻¹ necesitas |A|≠0.

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Ecuaciones Matriciales

Para resolver ecuaciones matriciales, despeja la matriz incógnita como si fuera un número, pero cuidado: las matrices no conmutan. Si X·A=B, entonces X=B·A⁻¹. Si A·X=B, entonces X=A⁻¹·B.

Cuando no puedes despejar directamente, describe la matriz incógnita con variables (a,b,c,...), efectúa las operaciones y usa la igualdad de matrices para crear un sistema de ecuaciones.

Para ecuaciones con determinantes, calcula el determinante en función de la incógnita y resuelve la ecuación resultante. A veces necesitarás cambios de variable para simplificar.

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La regla de Cramer se aplica cuando tienes igual número de ecuaciones que incógnitas y |A|≠0. Cada incógnita es el cociente de determinantes: el denominador es |A|, el numerador se obtiene sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes.

Para resolver matricialmente, escribe C·X=B y despeja X=C⁻¹·B. Calcula la inversa de la matriz de coeficientes y multiplica por el vector de términos independientes.

Estrategia: En sistemas con parámetros, primero encuentra para qué valores el determinante se anula, luego estudia cada caso por separado.

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La clasificación final depende de los rangos: compatible determinado si rang(A)=rang(C)=número de incógnitas, compatible indeterminado si rang(A)=rang(C)<número de incógnitas, incompatible si rang(A)≠rang(C).

Consejo práctico: Para sistemas 3×2 con parámetros, el determinante de la matriz ampliada te ayuda a identificar cuándo el sistema es incompatible.

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