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Actualizado Mar 26, 2026
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Apuntes Matemáticas 2º Bachillerato: Vectores, Rectas y Planos
A
Alicia Rodríguez
@aliciardgz
1 / 4
Vectores: Definición y Operaciones Básicas
Un vector es básicamente una flecha en el espacio que tiene tres características clave: módulo (su longitud), dirección (la línea que lo contiene) y sentido (hacia dónde apunta). Si tienes dos puntos A y B, el vector AB se calcula restando las coordenadas: AB = .
Para calcular el módulo de un vector (a,b,c), usas la fórmula |AB| = √. Es como calcular la distancia, pero en tres dimensiones.
Las operaciones son bastante intuitivas. Cuando multiplicas un vector por un número k, cada componente se multiplica por k. Si k es negativo, el vector cambia de sentido. Para sumar vectores, simplemente sumas componente a componente.
💡 Truco: Imagina los vectores como flechas que puedes mover por el espacio sin cambiar su longitud o dirección.
Los vectores forman una base cuando son linealmente independientes. La base canónica más importante está formada por i(1,0,0), j(0,1,0) y k(0,0,1), que son perpendiculares entre sí y tienen módulo 1.
El producto escalar de dos vectores es u·v = |u||v|cos(θ), donde θ es el ángulo entre ellos. Si el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.
Productos Vectorial y Mixto
Para calcular el producto escalar en coordenadas es súper fácil: dados u(x₁,y₁,z₁) y v(x₂,y₂,z₂), simplemente haces u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Además, el módulo de un vector es |u| = √(u·u).
El producto vectorial u×v te da otro vector perpendicular a ambos. Su módulo es |u×v| = |u||v|sen(θ). Para calcularlo, usas un determinante con i, j, k en la primera fila y las componentes de los vectores en las otras dos.
💡 Aplicación práctica: El producto vectorial es perfecto para calcular áreas de paralelogramos (|u×v|) y triángulos .
El producto vectorial tiene propiedades especiales: es anticonmutativo , se anula cuando los vectores son proporcionales, y no cumple la propiedad asociativa.
El producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) se calcula como un determinante 3×3 con las componentes de los vectores. Su valor absoluto te da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores, y dividido entre 6 te da el volumen del tetraedro.
Proyecciones, Rectas y Planos
La proyección de un vector v sobre u es proy_u v = (u·v)/|u|. Para obtener el vector proyección completo, multiplicas este número por el vector unitario en la dirección de u.
Una recta en el espacio se puede expresar de varias formas. La ecuación vectorial es (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(u₁,u₂,u₃), donde necesitas un punto y el vector director. La ecuación paramétrica desglosa esto en tres ecuaciones separadas para x, y, z.
La ecuación continua iguala las tres fracciones: /u₁ = /u₂ = /u₃. Para la ecuación implícita, expresas la recta como intersección de dos planos.
💡 Consejo: Para obtener el vector director desde la ecuación implícita, haz el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.
Un plano se define con un punto y dos vectores directores no paralelos. La ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0, donde (A,B,C) es el vector normal al plano.
Para estudiar la posición relativa de dos planos, comparas las proporciones de sus coeficientes: si A/A' = B/B' = C/C' = D/D' son coincidentes, si solo las tres primeras son iguales son paralelos, y si no hay proporcionalidad son secantes.
Posiciones Relativas y Sistemas
Para estudiar tres planos, usas el método de rangos de matrices. Si Rg(m) = Rg = 3, los tres planos se cortan en un punto único. Si Rg(m) = Rg = 2, tienes infinitas soluciones (como tres planos que se cortan en una recta).
Cuando Rg(m) ≠ Rg, el sistema es incompatible, lo que significa configuraciones como planos paralelos o la famosa "tienda de campaña".
💡 Tip de examen: Memoriza que cuando los rangos son diferentes, siempre hay incompatibilidad (no hay solución).
Para recta y plano, si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano , entonces la recta está contenida en el plano o es paralela a él. Sustituyes un punto de la recta en la ecuación del plano para distinguir entre ambos casos.
La posición de dos rectas es más compleja porque pueden cruzarse sin cortarse. Si los vectores directores son proporcionales, son paralelas o coincidentes. Si no lo son, pueden ser secantes (se cortan) o cruzarse en el espacio. Para distinguir entre secantes y que se cruzan, calculas det(u⃗r, u⃗s, PA⃗): si es cero son secantes, si no es cero se cruzan.
Las rectas que se cruzan son únicas del espacio 3D - en un plano esto no puede pasar.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
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Mar
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Apuntes Matemáticas 2º Bachillerato: Vectores, Rectas y Planos
A
Alicia Rodríguez
@aliciardgz
Los vectores son herramientas fundamentales en matemáticas que nos permiten representar magnitudes con dirección y sentido en el espacio tridimensional. Dominar las operaciones vectoriales y las ecuaciones de rectas y planos te dará las bases para resolver problemas geométricos complejos... Mostrar más
Vectores: Definición y Operaciones Básicas
Un vector es básicamente una flecha en el espacio que tiene tres características clave: módulo (su longitud), dirección (la línea que lo contiene) y sentido (hacia dónde apunta). Si tienes dos puntos A y B, el vector AB se calcula restando las coordenadas: AB = .
Para calcular el módulo de un vector (a,b,c), usas la fórmula |AB| = √. Es como calcular la distancia, pero en tres dimensiones.
Las operaciones son bastante intuitivas. Cuando multiplicas un vector por un número k, cada componente se multiplica por k. Si k es negativo, el vector cambia de sentido. Para sumar vectores, simplemente sumas componente a componente.
💡 Truco: Imagina los vectores como flechas que puedes mover por el espacio sin cambiar su longitud o dirección.
Los vectores forman una base cuando son linealmente independientes. La base canónica más importante está formada por i(1,0,0), j(0,1,0) y k(0,0,1), que son perpendiculares entre sí y tienen módulo 1.
El producto escalar de dos vectores es u·v = |u||v|cos(θ), donde θ es el ángulo entre ellos. Si el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.
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Para calcular el producto escalar en coordenadas es súper fácil: dados u(x₁,y₁,z₁) y v(x₂,y₂,z₂), simplemente haces u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Además, el módulo de un vector es |u| = √(u·u).
El producto vectorial u×v te da otro vector perpendicular a ambos. Su módulo es |u×v| = |u||v|sen(θ). Para calcularlo, usas un determinante con i, j, k en la primera fila y las componentes de los vectores en las otras dos.
💡 Aplicación práctica: El producto vectorial es perfecto para calcular áreas de paralelogramos (|u×v|) y triángulos .
El producto vectorial tiene propiedades especiales: es anticonmutativo , se anula cuando los vectores son proporcionales, y no cumple la propiedad asociativa.
El producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) se calcula como un determinante 3×3 con las componentes de los vectores. Su valor absoluto te da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores, y dividido entre 6 te da el volumen del tetraedro.
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Proyecciones, Rectas y Planos
La proyección de un vector v sobre u es proy_u v = (u·v)/|u|. Para obtener el vector proyección completo, multiplicas este número por el vector unitario en la dirección de u.
Una recta en el espacio se puede expresar de varias formas. La ecuación vectorial es (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(u₁,u₂,u₃), donde necesitas un punto y el vector director. La ecuación paramétrica desglosa esto en tres ecuaciones separadas para x, y, z.
La ecuación continua iguala las tres fracciones: /u₁ = /u₂ = /u₃. Para la ecuación implícita, expresas la recta como intersección de dos planos.
💡 Consejo: Para obtener el vector director desde la ecuación implícita, haz el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.
Un plano se define con un punto y dos vectores directores no paralelos. La ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0, donde (A,B,C) es el vector normal al plano.
Para estudiar la posición relativa de dos planos, comparas las proporciones de sus coeficientes: si A/A' = B/B' = C/C' = D/D' son coincidentes, si solo las tres primeras son iguales son paralelos, y si no hay proporcionalidad son secantes.
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Para estudiar tres planos, usas el método de rangos de matrices. Si Rg(m) = Rg = 3, los tres planos se cortan en un punto único. Si Rg(m) = Rg = 2, tienes infinitas soluciones (como tres planos que se cortan en una recta).
Cuando Rg(m) ≠ Rg, el sistema es incompatible, lo que significa configuraciones como planos paralelos o la famosa "tienda de campaña".
💡 Tip de examen: Memoriza que cuando los rangos son diferentes, siempre hay incompatibilidad (no hay solución).
Para recta y plano, si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano , entonces la recta está contenida en el plano o es paralela a él. Sustituyes un punto de la recta en la ecuación del plano para distinguir entre ambos casos.
La posición de dos rectas es más compleja porque pueden cruzarse sin cortarse. Si los vectores directores son proporcionales, son paralelas o coincidentes. Si no lo son, pueden ser secantes (se cortan) o cruzarse en el espacio. Para distinguir entre secantes y que se cruzan, calculas det(u⃗r, u⃗s, PA⃗): si es cero son secantes, si no es cero se cruzan.
Las rectas que se cruzan son únicas del espacio 3D - en un plano esto no puede pasar.
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Marta
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