Vectores: Definición y Operaciones Básicas

Un vector es básicamente una flecha en el espacio que tiene tres características clave: módulo (su longitud), dirección (la línea que lo contiene) y sentido (hacia dónde apunta). Si tienes dos puntos A y B, el vector AB se calcula restando las coordenadas: AB = $x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁$.

Para calcular el módulo de un vector (a,b,c), usas la fórmula |AB| = √$a²+b²+c²$. Es como calcular la distancia, pero en tres dimensiones.

Las operaciones son bastante intuitivas. Cuando multiplicas un vector por un número k, cada componente se multiplica por k. Si k es negativo, el vector cambia de sentido. Para sumar vectores, simplemente sumas componente a componente.

💡 Truco: Imagina los vectores como flechas que puedes mover por el espacio sin cambiar su longitud o dirección.

Los vectores forman una base cuando son linealmente independientes. La base canónica más importante está formada por i(1,0,0), j(0,1,0) y k(0,0,1), que son perpendiculares entre sí y tienen módulo 1.

El producto escalar de dos vectores es u·v = |u||v|cos(θ), donde θ es el ángulo entre ellos. Si el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.

Productos Vectorial y Mixto

Para calcular el producto escalar en coordenadas es súper fácil: dados u(x₁,y₁,z₁) y v(x₂,y₂,z₂), simplemente haces u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Además, el módulo de un vector es |u| = √(u·u).

El producto vectorial u×v te da otro vector perpendicular a ambos. Su módulo es |u×v| = |u||v|sen(θ). Para calcularlo, usas un determinante con i, j, k en la primera fila y las componentes de los vectores en las otras dos.

💡 Aplicación práctica: El producto vectorial es perfecto para calcular áreas de paralelogramos (|u×v|) y triángulos $|u×v|/2$.

El producto vectorial tiene propiedades especiales: es anticonmutativo $u×v = -v×u$, se anula cuando los vectores son proporcionales, y no cumple la propiedad asociativa.

El producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) se calcula como un determinante 3×3 con las componentes de los vectores. Su valor absoluto te da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores, y dividido entre 6 te da el volumen del tetraedro.

Proyecciones, Rectas y Planos

La proyección de un vector v sobre u es proy_u v = (u·v)/|u|. Para obtener el vector proyección completo, multiplicas este número por el vector unitario en la dirección de u.

Una recta en el espacio se puede expresar de varias formas. La ecuación vectorial es (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(u₁,u₂,u₃), donde necesitas un punto y el vector director. La ecuación paramétrica desglosa esto en tres ecuaciones separadas para x, y, z.

La ecuación continua iguala las tres fracciones: $x-x₀$/u₁ = $y-y₀$/u₂ = $z-z₀$/u₃. Para la ecuación implícita, expresas la recta como intersección de dos planos.

💡 Consejo: Para obtener el vector director desde la ecuación implícita, haz el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.

Un plano se define con un punto y dos vectores directores no paralelos. La ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0, donde (A,B,C) es el vector normal al plano.

Para estudiar la posición relativa de dos planos, comparas las proporciones de sus coeficientes: si A/A' = B/B' = C/C' = D/D' son coincidentes, si solo las tres primeras son iguales son paralelos, y si no hay proporcionalidad son secantes.

Posiciones Relativas y Sistemas

Para estudiar tres planos, usas el método de rangos de matrices. Si Rg$m$ = Rg$m*$ = 3, los tres planos se cortan en un punto único. Si Rg$m$ = Rg$m*$ = 2, tienes infinitas soluciones (como tres planos que se cortan en una recta).

Cuando Rg$m$ ≠ Rg$m*$, el sistema es incompatible, lo que significa configuraciones como planos paralelos o la famosa "tienda de campaña".

💡 Tip de examen: Memoriza que cuando los rangos son diferentes, siempre hay incompatibilidad (no hay solución).

Para recta y plano, si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano $u⃗·n⃗ = 0$, entonces la recta está contenida en el plano o es paralela a él. Sustituyes un punto de la recta en la ecuación del plano para distinguir entre ambos casos.

La posición de dos rectas es más compleja porque pueden cruzarse sin cortarse. Si los vectores directores son proporcionales, son paralelas o coincidentes. Si no lo son, pueden ser secantes (se cortan) o cruzarse en el espacio. Para distinguir entre secantes y que se cruzan, calculas det(u⃗r, u⃗s, PA⃗): si es cero son secantes, si no es cero se cruzan.

Las rectas que se cruzan son únicas del espacio 3D - en un plano esto no puede pasar.