Conceptos básicos de combinatoria

¿Alguna vez te has preguntado de cuántas formas puedes organizar tu horario de estudio o formar grupos para trabajos? La combinatoria te da las herramientas para calcularlo matemáticamente.

Los elementos clave son la población (conjunto total de elementos, con m elementos) y la muestra (subconjunto que elegimos, con n elementos). Lo que marca la diferencia son dos factores: si el orden importa y si se pueden repetir elementos.

El factorial es tu herramienta básica: n! = n × $n-1$ × $n-2$ × ... × 1. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Recuerda que 0! = 1 por definición.

¡Ojo! Un truco útil: cuando veas factoriales grandes, muchas veces se simplifican. Por ejemplo, 8!/5! = 8 × 7 × 6.

Las variaciones aparecen cuando no usas todos los elementos, el orden sí importa, y no se repiten. La fórmula es V_m^n = m!/$m-n$!.

Variaciones (continuación)

Las variaciones son perfectas para problemas como "¿cuántos números de 3 cifras diferentes puedo formar con 1,2,3,4,5?". Aquí no entran todos los elementos (solo 3 de 5), el orden importa (123 ≠ 321), y no se repiten.

V_5^3 = 5 × 4 × 3 = 60. También puedes usar la fórmula con factoriales: V_5^3 = 5!/(5-3)! = 5!/2!.

¡Cuidado con el cero! Si usas dígitos que incluyen el 0, recuerda que los números no empiezan por cero. Tendrás que dividir el problema: primero la primera cifra (sin el 0), luego el resto.

Truco de examen: Lee bien si dice "cifras diferentes" o solo "cifras". Esto determina si puedes repetir números.

Para concursos o clasificaciones (ganador, finalista, accésit), usas variaciones porque el orden importa mucho: no es lo mismo quedar primero que tercero.

Variaciones con repetición

Imagínate creando una contraseña donde puedes repetir números. Esto es una variación con repetición, y su fórmula es súper sencilla: VR_m^n = m^n.

Para formar números de 3 cifras con los dígitos 1,2,3,4,5 (pudiendo repetir), sería VR_5^3 = 5^3 = 125. Cada posición tiene 5 opciones disponibles.

El ejemplo clásico son las quinielas: 3 opciones (1, X, 2) para 15 partidos, donde puedes repetir resultados. VR_3^15 = 3^15 = 14.348.907 combinaciones posibles.

Dato curioso: Por eso es tan difícil acertar una quiniela completa, ¡hay más de 14 millones de posibilidades!

Recuerda aplicar la regla del cero cuando corresponda: si formas números con el dígito 0, la primera cifra tiene menos opciones que las siguientes.

Permutaciones

Las permutaciones son el caso especial donde usas TODOS los elementos. La fórmula es facilísima: P_n = n!.

¿De cuántas formas pueden sentarse 8 personas en una fila? P_8 = 8! = 40.320 maneras diferentes. Cada persona ocupa una posición distinta y el orden importa.

Las permutaciones circulares son geniales para mesas redondas. Como no hay un "primer" asiento fijo, una persona menos decide el orden: PC_n = $n-1$!.

Visualízalo: En una mesa redonda, una vez que sitúas a una persona, las demás se ordenan respecto a ella.

Para 8 personas en mesa redonda: PC_8 = 7! = 5.040 formas. Mucho menos que en fila, ¿verdad?

Permutaciones con repetición

¿Qué pasa cuando tienes elementos repetidos, como las letras en "ANNA"? Usas permutaciones con repetición: PR_n^(a,b,c...) = n!/(a! × b! × c! × ...).

Con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4,4 puedes formar PR_9^(3,4,2) = 9!/(3! × 4! × 2!) = 1.260 números diferentes de nueve cifras.

El truco está en dividir entre los factoriales de los elementos repetidos. Si no lo hicieras, contarías como diferentes números que en realidad son iguales.

Piénsalo así: Las tres cifras "2" son indistinguibles entre sí, por eso divides entre 3!.

Este tipo aparece mucho en problemas de banderas, letras de palabras, o cualquier situación con elementos idénticos que se repiten.

Combinaciones

Las combinaciones son perfectas cuando el orden NO importa. Elegir un comité de 3 personas entre 35 alumnos: da igual si eliges a Juan-Ana-Pedro o Pedro-Ana-Juan, es el mismo comité.

La fórmula es C_m^n = m!/$n!(m-n)!$ = V_m^n/P_n. Básicamente, calculas las variaciones y divides entre las permutaciones para "quitar" el orden.

Para el comité: C_35^3 = (35 × 34 × 33)/(3 × 2 × 1) = 6.545 comités posibles.

Regla de oro: Si el problema habla de "elegir", "seleccionar" o "formar grupos", probablemente necesitas combinaciones.

Las combinaciones con repetición aparecen cuando puedes repetir elementos: CR_m^n = C_$m+n-1$^n. Por ejemplo, elegir 4 botellas de 5 tipos diferentes en una bodega (puedes elegir varias del mismo tipo).

Números combinatorios y sus propiedades

Los números combinatorios se escriben como (m n) y son equivalentes a C_m^n. Tienen propiedades súper útiles para simplificar cálculos.

Propiedades clave:

• (m 0) = (m m) = 1 (siempre hay una forma de no elegir nada o elegirlo todo)
• (m n) = $m m-n$ (números complementarios: es igual elegir 3 de 7 que dejar 3 de 7)

La propiedad de Pascal es genial: $m n-1$ + (m n) = $m+1 n$. Te permite calcular números combinatorios sumando los anteriores.

Truco de cálculo: Si te piden (75 72), usa la propiedad complementaria: (75 72) = (75 3) = 67.525. ¡Mucho más fácil!

Esta propiedad complementaria te ahorra mogollón de cálculos en exámenes cuando los números son grandes.

Triángulo de Pascal

El Triángulo de Pascal es como un mapa de todos los números combinatorios. Cada fila corresponde a un valor de m, y cada posición a un valor de n.

Empieza con 1 en la punta, y cada número se forma sumando los dos que tiene encima. Es simétrico, así que (m n) = $m m-n$ se ve claramente.

Propiedades visuales:

• Cada fila empieza y termina en 1
• Es completamente simétrico
• Cada número = suma de los dos de arriba

¡Es súper práctico! Para exámenes rápidos, memorizar las primeras filas te puede ahorrar cálculos: fila 4 → 1,4,6,4,1.

Lo mejor del triángulo es que conecta la combinatoria con otros temas como el binomio de Newton. Los números de cada fila son exactamente los coeficientes de $a+b$^n.