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288
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29 dic 2025
•
Anna Herrera Fernandez
@annaherreraa._
La trigonometria és una de les eines matemàtiques més útils... Mostrar más
El radiant és una manera diferent de mesurar angles que connecta directament amb el cercle. Un radiant equival aproximadament a 57'29°, i sorgeix de la relació entre l'arc d'un cercle i el seu radi.
La conversió és senzilla: 360° = 2π radiants. Això vol dir que 180° = π radiants, 90° = π/2 radiants, i així successivament.
Per als angles aguts (menors de 90°), tenim sis funcions trigonomètriques principals. Les més importants són sin(α) = catet oposat/hipotenusa, cos(α) = catet contigu/hipotenusa i tan(α) = catet oposat/catet contigu.
Les tres identitats fonamentals són clau: sin²(α) + cos²(α) = 1, tan(α) = sin(α)/cos(α), i 1/cos²(α) = tan²(α) + 1. Aquestes relacions t'estalviaran molt temps en els problemes!
Recorda: El cercle goniomètric (de radi 1) et permet treballar amb qualsevol angle, no només els aguts.
Quan tens un triangle rectangle i coneixes alguns dels seus elements, pots trobar la resta utilitzant les funcions trigonomètriques. Per exemple, si coneixes un angle i un catet, pots calcular l'altura o la base.
Per trobar un angle quan coneixes les longituds, utilitzes les funcions inverses: arcsin, arccos o arctan. Si tan(α) = 2, llavors α = arctan(2) = 63'43°.
Els problemes pràctics sovint impliquen angles d'elevació o de depressió. Quan mires cap amunt a un edifici o cap avall des d'una muntanya, estàs creant un triangle rectangle que pots resoldre.
Recorda que la suma dels angles d'un triangle sempre és 180°. Aquesta regla bàsica t'ajudarà a comprovar si els teus resultats són correctes.
Consell: Dibuixa sempre un esquema del problema abans de començar els càlculs.
Quan el triangle no és rectangle, Pitàgores ja no funciona. Aquí entren els teoremes del cosinus i del sinus, que són extensions més potents.
El teorema del cosinus és: a² = b² + c² - 2bc·cos(A). És com Pitàgores però amb un terme correctiu que depèn de l'angle. Quan l'angle és de 90°, cos(90°) = 0 i recuperes Pitàgores!
El teorema del sinus estableix que sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c. Aquesta proporció és constant per a qualsevol triangle i et permet trobar angles o costats desconeguts.
Aquests teoremes t'obren la porta a resoldre qualsevol triangle si coneixes tres elements (almenys un dels quals ha de ser un costat).
Estratègia: Utilitza cosinus quan coneguis dos costats i l'angle entre ells, i sinus quan tinguis un costat i dos angles.
Els problemes amb polígons regulars es resolen dividint-los en triangles. Un hexàgon regular es divideix en 6 triangles de 60° cadascun, cosa que facilita molt els càlculs.
Per calcular àrees de triangles, pots utilitzar la fórmula Area = (base × altura)/2, on l'altura s'obté amb trigonometria: h = costat × sin(angle).
En problemes del món real com les agulles d'un rellotge, primer identifica l'angle entre les agulles (30° per cada hora) i després aplica el teorema del cosinus per trobar la distància entre els extrems.
El cercle goniomètric et permet definir sin(α) = coordenada y i cos(α) = coordenada x per a qualsevol punt del cercle. Això amplia les funcions trigonomètriques a tots els angles possibles.
Pràctica: Els problemes de rellotges sempre segueixen el mateix patró: 30° per hora entre agulles.
Els angles característics (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) tenen valors trigonomètrics exactes que has de memoritzar. Són la base per resoldre molts problemes sense calculadora.
Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2, provinent d'un triangle rectangle isòsceles. Aquest triangle té una elegància especial perquè els dos catets són iguals.
Per 30° i 60°: utilitza un triangle equilàter partit per la meitat. Això dona sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.
La taula resum d'aquests valors és essencial per als exàmens. Fixa't en els patrons: els valors de sinus creixen de 0 a 1, mentre que els de cosinus decreixen de 1 a 0.
Truc: Recorda els valors com a fracions amb arrels: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 per al sinus.
Els angles suplementaris tenen propietats especials: sin(α) = sin(180°-α), però cos(α) = -cos(180°-α). És com si el sinus es mantingués igual però el cosinus canviés de signe.
Per angles que difereixen de 90°: cos(α) = sin(90°-α) i sin(α) = cos(90°-α). Aquesta relació explica per què sinus i cosinus són funcions "complementàries".
Els angles oposats compleixen: cos(α) = cos(-α) (el cosinus és parell) i sin(α) = -sin(-α) (el sinus és imparell). Això reflecteix la simetria del cercle goniomètric.
Quan treballis amb quadrants, recorda els signes: primer quadrant (+,+), segon (-,+), tercer (-,-), quart (+,-) per a (cos, sin).
Memòria: "Tots Som Tan Cares" per recordar els quadrants on cada funció és positiva.
Quan et donen sin(α) = 1/3 i α és al primer quadrant, utilitza la identitat fonamental sin²(α) + cos²(α) = 1 per trobar cos(α) = ±2√2/3. El signe el determina el quadrant.
Per calcular tan(α), utilitza tan(α) = sin(α)/cos(α). Amb els valors anteriors: tan(α) = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.
Les relacions entre angles et permeten trobar valors sense calcular α directament. Per exemple: sin(π/2 + α) = cos(α) i cos(π - α) = -cos(α).
Quan α està al segon o tercer quadrant, vigila els signes! Al segon quadrant, sin > 0 però cos < 0. Al tercer, tots dos són negatius.
Estratègia: Sempre identifica primer el quadrant per saber els signes correctes.
Les fórmules d'addició són: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) i cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β). Aquestes són la base per a moltes altres identitats.
Les fórmules de l'angle doble surten de les anteriors: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) i cos(2α) = cos²(α) - sin²(α). Són especialment útils per simplificar expressions.
Per la tangent de sumes: tan(α + β) = /. Aquesta fórmula és més complicada però segueix el mateix patró lògic.
Les identitats de suma a producte converteixen sumes trigonomètriques en productes, cosa que sovint facilita els càlculs i les simplificacions.
Pràctica: Les identitats trigonomètriques requereixen molta pràctica per dominar-les completament.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Anna Herrera Fernandez
@annaherreraa._
La trigonometria és una de les eines matemàtiques més útils que aprendràs aquest any. T'ajudarà a resoldre problemes amb triangles, angles i distàncies que semblen impossibles de calcular directament.
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El radiant és una manera diferent de mesurar angles que connecta directament amb el cercle. Un radiant equival aproximadament a 57'29°, i sorgeix de la relació entre l'arc d'un cercle i el seu radi.
La conversió és senzilla: 360° = 2π radiants. Això vol dir que 180° = π radiants, 90° = π/2 radiants, i així successivament.
Per als angles aguts (menors de 90°), tenim sis funcions trigonomètriques principals. Les més importants són sin(α) = catet oposat/hipotenusa, cos(α) = catet contigu/hipotenusa i tan(α) = catet oposat/catet contigu.
Les tres identitats fonamentals són clau: sin²(α) + cos²(α) = 1, tan(α) = sin(α)/cos(α), i 1/cos²(α) = tan²(α) + 1. Aquestes relacions t'estalviaran molt temps en els problemes!
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Els problemes pràctics sovint impliquen angles d'elevació o de depressió. Quan mires cap amunt a un edifici o cap avall des d'una muntanya, estàs creant un triangle rectangle que pots resoldre.
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Quan el triangle no és rectangle, Pitàgores ja no funciona. Aquí entren els teoremes del cosinus i del sinus, que són extensions més potents.
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El teorema del sinus estableix que sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c. Aquesta proporció és constant per a qualsevol triangle i et permet trobar angles o costats desconeguts.
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En problemes del món real com les agulles d'un rellotge, primer identifica l'angle entre les agulles (30° per cada hora) i després aplica el teorema del cosinus per trobar la distància entre els extrems.
El cercle goniomètric et permet definir sin(α) = coordenada y i cos(α) = coordenada x per a qualsevol punt del cercle. Això amplia les funcions trigonomètriques a tots els angles possibles.
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Els angles característics (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) tenen valors trigonomètrics exactes que has de memoritzar. Són la base per resoldre molts problemes sense calculadora.
Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2, provinent d'un triangle rectangle isòsceles. Aquest triangle té una elegància especial perquè els dos catets són iguals.
Per 30° i 60°: utilitza un triangle equilàter partit per la meitat. Això dona sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.
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Truc: Recorda els valors com a fracions amb arrels: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 per al sinus.
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Els angles suplementaris tenen propietats especials: sin(α) = sin(180°-α), però cos(α) = -cos(180°-α). És com si el sinus es mantingués igual però el cosinus canviés de signe.
Per angles que difereixen de 90°: cos(α) = sin(90°-α) i sin(α) = cos(90°-α). Aquesta relació explica per què sinus i cosinus són funcions "complementàries".
Els angles oposats compleixen: cos(α) = cos(-α) (el cosinus és parell) i sin(α) = -sin(-α) (el sinus és imparell). Això reflecteix la simetria del cercle goniomètric.
Quan treballis amb quadrants, recorda els signes: primer quadrant (+,+), segon (-,+), tercer (-,-), quart (+,-) per a (cos, sin).
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Quan et donen sin(α) = 1/3 i α és al primer quadrant, utilitza la identitat fonamental sin²(α) + cos²(α) = 1 per trobar cos(α) = ±2√2/3. El signe el determina el quadrant.
Per calcular tan(α), utilitza tan(α) = sin(α)/cos(α). Amb els valors anteriors: tan(α) = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.
Les relacions entre angles et permeten trobar valors sense calcular α directament. Per exemple: sin(π/2 + α) = cos(α) i cos(π - α) = -cos(α).
Quan α està al segon o tercer quadrant, vigila els signes! Al segon quadrant, sin > 0 però cos < 0. Al tercer, tots dos són negatius.
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Les fórmules d'addició són: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) i cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β). Aquestes són la base per a moltes altres identitats.
Les fórmules de l'angle doble surten de les anteriors: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) i cos(2α) = cos²(α) - sin²(α). Són especialment útils per simplificar expressions.
Per la tangent de sumes: tan(α + β) = /. Aquesta fórmula és més complicada però segueix el mateix patró lògic.
Les identitats de suma a producte converteixen sumes trigonomètriques en productes, cosa que sovint facilita els càlculs i les simplificacions.
Pràctica: Les identitats trigonomètriques requereixen molta pràctica per dominar-les completament.
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Pablo
usuario de iOS
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Julyana
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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Julyana
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Javier
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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