Matemáticas

Funciones e Identidades Trigonométricas

funciones trigonométricas

Matemàtiques297 visualizaciones·Actualizado Jun 10, 2026·8 páginas

Introducció a la Trigonometria

Anna Herrera Fernandez@annaherreraa._

Añadir a fuentes de Google

La trigonometria és una de les eines matemàtiques més útils...

1 / 8

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Mesura d'angles i relacions trigonomètriques bàsiques

El radiant és una manera diferent de mesurar angles que connecta directament amb el cercle. Un radiant equival aproximadament a 57'29°, i sorgeix de la relació entre l'arc d'un cercle i el seu radi.

La conversió és senzilla: 360° = 2π radiants. Això vol dir que 180° = π radiants, 90° = π/2 radiants, i així successivament.

Per als angles aguts (menors de 90°), tenim sis funcions trigonomètriques principals. Les més importants són sin(α) = catet oposat/hipotenusa, cos(α) = catet contigu/hipotenusa i tan(α) = catet oposat/catet contigu.

Les tres identitats fonamentals són clau: sin²(α) + cos²(α) = 1, tan(α) = sin(α)/cos(α), i 1/cos²(α) = tan²(α) + 1. Aquestes relacions t'estalviaran molt temps en els problemes!

Recorda: El cercle goniomètric (de radi 1) et permet treballar amb qualsevol angle, no només els aguts.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Aplicacions pràctiques i càlcul d'angles

Quan tens un triangle rectangle i coneixes alguns dels seus elements, pots trobar la resta utilitzant les funcions trigonomètriques. Per exemple, si coneixes un angle i un catet, pots calcular l'altura o la base.

Per trobar un angle quan coneixes les longituds, utilitzes les funcions inverses: arcsin, arccos o arctan. Si tan(α) = 2, llavors α = arctan(2) = 63'43°.

Els problemes pràctics sovint impliquen angles d'elevació o de depressió. Quan mires cap amunt a un edifici o cap avall des d'una muntanya, estàs creant un triangle rectangle que pots resoldre.

Recorda que la suma dels angles d'un triangle sempre és 180°. Aquesta regla bàsica t'ajudarà a comprovar si els teus resultats són correctes.

Consell: Dibuixa sempre un esquema del problema abans de començar els càlculs.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Teoremes del cosinus i del sinus

Quan el triangle no és rectangle, Pitàgores ja no funciona. Aquí entren els teoremes del cosinus i del sinus, que són extensions més potents.

El teorema del cosinus és: a² = b² + c² - 2bc·cos(A). És com Pitàgores però amb un terme correctiu que depèn de l'angle. Quan l'angle és de 90°, cos(90°) = 0 i recuperes Pitàgores!

El teorema del sinus estableix que sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c. Aquesta proporció és constant per a qualsevol triangle i et permet trobar angles o costats desconeguts.

Aquests teoremes t'obren la porta a resoldre qualsevol triangle si coneixes tres elements (almenys un dels quals ha de ser un costat).

Estratègia: Utilitza cosinus quan coneguis dos costats i l'angle entre ells, i sinus quan tinguis un costat i dos angles.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Exemples pràctics i aplicacions

Els problemes amb polígons regulars es resolen dividint-los en triangles. Un hexàgon regular es divideix en 6 triangles de 60° cadascun, cosa que facilita molt els càlculs.

Per calcular àrees de triangles, pots utilitzar la fórmula Area = (base × altura)/2, on l'altura s'obté amb trigonometria: h = costat × sin(angle).

En problemes del món real com les agulles d'un rellotge, primer identifica l'angle entre les agulles (30° per cada hora) i després aplica el teorema del cosinus per trobar la distància entre els extrems.

El cercle goniomètric et permet definir sin(α) = coordenada y i cos(α) = coordenada x per a qualsevol punt del cercle. Això amplia les funcions trigonomètriques a tots els angles possibles.

Pràctica: Els problemes de rellotges sempre segueixen el mateix patró: 30° per hora entre agulles.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Angles característics i valors exactes

Els angles característics (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) tenen valors trigonomètrics exactes que has de memoritzar. Són la base per resoldre molts problemes sense calculadora.

Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2, provinent d'un triangle rectangle isòsceles. Aquest triangle té una elegància especial perquè els dos catets són iguals.

Per 30° i 60°: utilitza un triangle equilàter partit per la meitat. Això dona sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.

La taula resum d'aquests valors és essencial per als exàmens. Fixa't en els patrons: els valors de sinus creixen de 0 a 1, mentre que els de cosinus decreixen de 1 a 0.

Truc: Recorda els valors com a fracions amb arrels: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 per al sinus.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Relacions entre angles

Els angles suplementaris $α i 180°-α$ tenen propietats especials: sin(α) = sin(180°-α), però cos(α) = -cos(180°-α). És com si el sinus es mantingués igual però el cosinus canviés de signe.

Per angles que difereixen de 90°: cos(α) = sin(90°-α) i sin(α) = cos(90°-α). Aquesta relació explica per què sinus i cosinus són funcions "complementàries".

Els angles oposats compleixen: cos(α) = cos(-α) (el cosinus és parell) i sin(α) = -sin(-α) (el sinus és imparell). Això reflecteix la simetria del cercle goniomètric.

Quan treballis amb quadrants, recorda els signes: primer quadrant (+,+), segon (-,+), tercer (-,-), quart (+,-) per a (cos, sin).

Memòria: "Tots Som Tan Cares" per recordar els quadrants on cada funció és positiva.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Resolució d'exercicis amb condicions

Quan et donen sin(α) = 1/3 i α és al primer quadrant, utilitza la identitat fonamental sin²(α) + cos²(α) = 1 per trobar cos(α) = ±2√2/3. El signe el determina el quadrant.

Per calcular tan(α), utilitza tan(α) = sin(α)/cos(α). Amb els valors anteriors: tan(α) = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.

Les relacions entre angles et permeten trobar valors sense calcular α directament. Per exemple: sin(π/2 + α) = cos(α) i cos(π - α) = -cos(α).

Quan α està al segon o tercer quadrant, vigila els signes! Al segon quadrant, sin > 0 però cos < 0. Al tercer, tots dos són negatius.

Estratègia: Sempre identifica primer el quadrant per saber els signes correctes.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Identitats trigonomètriques compostes

Les fórmules d'addició són: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) i cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β). Aquestes són la base per a moltes altres identitats.

Les fórmules de l'angle doble surten de les anteriors: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) i cos(2α) = cos²(α) - sin²(α). Són especialment útils per simplificar expressions.

Per la tangent de sumes: tan(α + β) = $tan(α) + tan(β)$ / $1 - tan(α)tan(β)$ . Aquesta fórmula és més complicada però segueix el mateix patró lògic.

Les identitats de suma a producte converteixen sumes trigonomètriques en productes, cosa que sovint facilita els càlculs i les simplificacions.

Pràctica: Les identitats trigonomètriques requereixen molta pràctica per dominar-les completament.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Contenidos más populares de Matemàtiques

Matemàtiques

Maemàtiques

Vectors i geometria

1° Bach35426

Matemàtiques

Contingut necessari per fer problemes de matrius per selectivitat

2° Bach2027

Contenidos más populares

Inglés

irregular verbs quiz

Domina el idioma inglés de manera sencilla y divertida con estos flashcards diseñados especialmente para estudiantes de sexto grado.

6º primaria2,8951

Geografía e Historia

roma

a estudiar Roma!!

1° ESO2,3122

Geografía e Historia

Grecia: Inicio de la democracia

3° ESO1,7382

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elenausuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Anausuaria de iOS

Matemáticas

Funciones e Identidades Trigonométricas

funciones trigonométricas

Matemàtiques297 visualizaciones·Actualizado Jun 10, 2026·8 páginas

Introducció a la Trigonometria

Anna Herrera Fernandez@annaherreraa._

Añadir a fuentes de Google

La trigonometria és una de les eines matemàtiques més útils que aprendràs aquest any. T'ajudarà a resoldre problemes amb triangles, angles i distàncies que semblen impossibles de calcular directament.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Mesura d'angles i relacions trigonomètriques bàsiques

La conversió és senzilla: 360° = 2π radiants. Això vol dir que 180° = π radiants, 90° = π/2 radiants, i així successivament.

Les tres identitats fonamentals són clau: sin²(α) + cos²(α) = 1, tan(α) = sin(α)/cos(α), i 1/cos²(α) = tan²(α) + 1. Aquestes relacions t'estalviaran molt temps en els problemes!

Recorda: El cercle goniomètric (de radi 1) et permet treballar amb qualsevol angle, no només els aguts.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Aplicacions pràctiques i càlcul d'angles

Per trobar un angle quan coneixes les longituds, utilitzes les funcions inverses: arcsin, arccos o arctan. Si tan(α) = 2, llavors α = arctan(2) = 63'43°.

Recorda que la suma dels angles d'un triangle sempre és 180°. Aquesta regla bàsica t'ajudarà a comprovar si els teus resultats són correctes.

Consell: Dibuixa sempre un esquema del problema abans de començar els càlculs.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Teoremes del cosinus i del sinus

Quan el triangle no és rectangle, Pitàgores ja no funciona. Aquí entren els teoremes del cosinus i del sinus, que són extensions més potents.

El teorema del cosinus és: a² = b² + c² - 2bc·cos(A). És com Pitàgores però amb un terme correctiu que depèn de l'angle. Quan l'angle és de 90°, cos(90°) = 0 i recuperes Pitàgores!

El teorema del sinus estableix que sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c. Aquesta proporció és constant per a qualsevol triangle i et permet trobar angles o costats desconeguts.

Aquests teoremes t'obren la porta a resoldre qualsevol triangle si coneixes tres elements (almenys un dels quals ha de ser un costat).

Estratègia: Utilitza cosinus quan coneguis dos costats i l'angle entre ells, i sinus quan tinguis un costat i dos angles.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Exemples pràctics i aplicacions

Els problemes amb polígons regulars es resolen dividint-los en triangles. Un hexàgon regular es divideix en 6 triangles de 60° cadascun, cosa que facilita molt els càlculs.

Per calcular àrees de triangles, pots utilitzar la fórmula Area = (base × altura)/2, on l'altura s'obté amb trigonometria: h = costat × sin(angle).

El cercle goniomètric et permet definir sin(α) = coordenada y i cos(α) = coordenada x per a qualsevol punt del cercle. Això amplia les funcions trigonomètriques a tots els angles possibles.

Pràctica: Els problemes de rellotges sempre segueixen el mateix patró: 30° per hora entre agulles.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Angles característics i valors exactes

Els angles característics (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) tenen valors trigonomètrics exactes que has de memoritzar. Són la base per resoldre molts problemes sense calculadora.

Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2, provinent d'un triangle rectangle isòsceles. Aquest triangle té una elegància especial perquè els dos catets són iguals.

Per 30° i 60°: utilitza un triangle equilàter partit per la meitat. Això dona sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.

La taula resum d'aquests valors és essencial per als exàmens. Fixa't en els patrons: els valors de sinus creixen de 0 a 1, mentre que els de cosinus decreixen de 1 a 0.

Truc: Recorda els valors com a fracions amb arrels: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 per al sinus.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Relacions entre angles

Per angles que difereixen de 90°: cos(α) = sin(90°-α) i sin(α) = cos(90°-α). Aquesta relació explica per què sinus i cosinus són funcions "complementàries".

Els angles oposats compleixen: cos(α) = cos(-α) (el cosinus és parell) i sin(α) = -sin(-α) (el sinus és imparell). Això reflecteix la simetria del cercle goniomètric.

Quan treballis amb quadrants, recorda els signes: primer quadrant (+,+), segon (-,+), tercer (-,-), quart (+,-) per a (cos, sin).

Memòria: "Tots Som Tan Cares" per recordar els quadrants on cada funció és positiva.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Resolució d'exercicis amb condicions

Quan et donen sin(α) = 1/3 i α és al primer quadrant, utilitza la identitat fonamental sin²(α) + cos²(α) = 1 per trobar cos(α) = ±2√2/3. El signe el determina el quadrant.

Per calcular tan(α), utilitza tan(α) = sin(α)/cos(α). Amb els valors anteriors: tan(α) = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.

Les relacions entre angles et permeten trobar valors sense calcular α directament. Per exemple: sin(π/2 + α) = cos(α) i cos(π - α) = -cos(α).

Quan α està al segon o tercer quadrant, vigila els signes! Al segon quadrant, sin > 0 però cos < 0. Al tercer, tots dos són negatius.

Estratègia: Sempre identifica primer el quadrant per saber els signes correctes.

of 8

$# TRIGONOMETRIA. ## MESURA D'ANGLES que es un radiant?... 360 relació entre l'arc de corcle i el radi de la circumferència. $ \frac{r}{r}$

Identitats trigonomètriques compostes

Les fórmules d'addició són: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) i cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β). Aquestes són la base per a moltes altres identitats.

Les fórmules de l'angle doble surten de les anteriors: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) i cos(2α) = cos²(α) - sin²(α). Són especialment útils per simplificar expressions.

Per la tangent de sumes: tan(α + β) = $tan(α) + tan(β)$ / $1 - tan(α)tan(β)$ . Aquesta fórmula és més complicada però segueix el mateix patró lògic.

Les identitats de suma a producte converteixen sumes trigonomètriques en productes, cosa que sovint facilita els càlculs i les simplificacions.

Pràctica: Les identitats trigonomètriques requereixen molta pràctica per dominar-les completament.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.