Matemáticas

Funciones e Identidades Trigonométricas

funciones trigonométricas

Matemàtiques140 visualizaciones·Actualizado May 23, 2026·14 páginas

Introducció a Trigonometria i Nombres Complexos

alejandra@alebarruguer

La trigonometria és una eina súper útil per resoldre problemes... Mostrar más

1 / 10

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Raons trigonomètriques d'angles aguts

Imagina't que tens un triangle rectangle i vols saber la relació entre els seus costats i angles. Les raons trigonomètriques et permeten fer-ho de manera senzilla.

Les tres raons bàsiques són: sin α = catet oposat/hipotenusa, cos α = catet adjacent/hipotenusa i tan α = catet oposat/catet adjacent. També existeixen les raons recíproques com cosecant, secant i cotangent, però aquestes són les inverses de les anteriors.

Hi ha tres relacions fonamentals que sempre es compleixen: tan α = sin α/cos α, sin²α + cos²α = 1, i 1 + tan²α = 1/cos²α. La segona és la més important i la que més utilitzaràs!

Tip important: La relació sin²α + cos²α = 1 ve del teorema de Pitàgores i sempre es compleix, sigui quin sigui l'angle.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Propietats dels angles aguts

Per als angles entre 0° i 90° (el primer quadrant), totes les raons trigonomètriques són positives. Això fa que siguin més fàcils de treballar.

El sin α sempre està entre 0 i 1, igual que el cos α. La tan α sempre és positiva però pot ser qualsevol valor positiu.

Aquesta informació és clau perquè et permet verificar si els teus càlculs són correctes. Si obtens un sinus més gran que 1, ja saps que hi ha alguna cosa malament!

Recorda: En triangles rectangles amb angles aguts, mai obtindràs valors negatius per a sin, cos o tan.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Circumferència goniomètrica i els quatre quadrants

Ara ve la part interessant: què passa quan l'angle és més gran de 90°? Aquí entra la circumferència goniomètrica, una circumferència de radi 1 que ens permet treballar amb qualsevol angle.

En aquesta circumferència, sin x = coordenada y i cos x = coordenada x del punt on acaba l'angle. Això fa que les raons puguin ser negatives segons el quadrant.

Els signes canvien segons on estigui l'angle: al I quadrant tot és positiu, al II quadrant només sin és positiu, al III quadrant només tan és positiva, i al IV quadrant només cos és positiu.

Truc de memòria: "Sin-Tan-Cos" et recorda quina raó és positiva en cada quadrant $II-III-IV respectivament$ .

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Angles especials i taula de valors

Hi ha alguns angles que apareixen constantment: 30°, 45° i 60°. És súper important que te'n recordis els valors exactes.

Per a 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3. Per a 45°: sin = cos = √2/2, tan = 1. Per a 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3.

A la taula també tens tots els valors per als angles més comuns (0°, 90°, 180°, 270°, 360°). Memoritzar-los et farà els exercicis molt més ràpids!

Consell d'estudi: Practica dibuixar els triangles de 30-60-90° i 45-45-90° per recordar millor aquests valors.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Angles fora de l'interval 0° a 360°

Quan tens un angle més gran de 360°, simplement has de trobar el seu angle equivalent entre 0° i 360°. Això es fa dividint per 360° i quedant-te amb el residu.

Per exemple, 1345° = 345° + 360° × 3, així que 1345° és equivalent a 345°. És com si l'angle hagués donat 3 voltes completes i s'hagués quedat a 345°.

Aquest mètode funciona sempre i et permet reduir qualsevol angle a un de més manejable. És com "desenredar" les voltes que ha donat l'angle.

Tip pràctic: Sempre comprova que el teu angle final estigui entre 0° i 360° per evitar errors en els càlculs posteriors.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Treballant amb angles negatius

Els angles negatius simplement es mesuren en sentit horari en lloc d'antihorari. Per convertir-los a l'interval [-180°, 180°], uses el mateix mètode de divisió.

Per exemple, per representar -72°, vas 72° en sentit horari des del 0°. És com anar enrere en lloc d'anar endavant.

Els exemples mostren com convertir angles grans com 3895° tant a l'interval [0°, 360°) com a [-180°, 180°]. Ambdós mètodes són vàlids segons el que necessitis.

Important: Els angles negatius tenen les mateixes raons trigonomètriques que els seus equivalents positius, però alguns signes canvien.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Taula completa de valors trigonomètrics

Aquesta taula és el teu millor amic per als exàmens! Inclou tots els valors exactes (amb arrels) i decimals dels angles més importants.

Fixa't com els valors es repeteixen amb diferents signes segons el quadrant. Per exemple, sin 30° = 1/2 i sin 150° = 1/2, però sin 210° = -1/2.

La simetria és clau: molts angles tenen les mateixes raons trigonomètriques però amb signes diferents. Això et pot ajudar a memoritzar més fàcilment.

Estratègia d'examen: Porta sempre aquesta informació fresca a la memòria, especialment els valors de 30°, 45° i 60°.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Calculadora i relacions entre angles

Quan uses la calculadora, recorda que les funcions arcsinus, arccosinus i arctangent et donen valors en intervals limitats. Arcsin i arctan donen valors entre -90° i 90°, mentre que arccos dona entre 0° i 180°.

Les relacions entre angles són súper útils: els angles suplementaris (que sumen 180°) tenen sin iguals però cos i tan oposats. Els angles que difereixen en 180° tenen sin i cos oposats però tan igual.

Els angles complementaris (que sumen 90°) tenen una relació especial: sin d'un = cos de l'altre. Això és molt útil per resoldre equacions!

Atenció: Sempre comprova en quin quadrant ha d'estar la teva resposta per escollir l'angle correcte de la calculadora.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Més relacions entre angles especials

Els angles complementaris tenen una propietat molt xula: sin(90° - α) = cos α i cos(90° - α) = sin α. És com si s'intercanviessin les raons!

Quan l'angle difereix en 90° $α i 90° + α$ , també hi ha patrons clars: sin(90° + α) = cos α però cos(90° + α) = -sin α.

Aquestes relacions et permeten convertir qualsevol raó trigonomètrica en una altra, cosa molt útil per simplificar expressions complexes.

Truc útil: Si et trobes amb sin de 90° menys alguna cosa, automàticament pensa en cosinus d'aquesta alguna cosa.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Resolució de triangles rectangles

Ara ve la part pràctica! Per resoldre un triangle rectangle, necessites coneguts almenys un costat i un angle (a més de l'angle recte).

Els passos són simples: identifica quina raó trigonomètrica relaciona les dades conegudes amb la incògnita. Per exemple, si tens la hipotenusa i vols un catet, usa sin o cos segons el catet.

Als exemples veus com amb sin 57° = b/32 pots trobar b = 32 × sin 57°. Sempre despeça la incògnita i substitueix els valors coneguts.

Metodologia d'èxit: Sempre dibuixa el triangle, etiqueta tots els elements coneguts i decideix quina raó trigonomètrica necessites abans de calcular.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Matemàtiques

Maemàtiques

Equacions i inequacions

1° Bach28834

Matemàtiques

Matemàtiques Matrius

Contingut necessari per fer problemes de matrius per selectivitat

2° Bach2027

Matemàtiques

Límits de funcions i continuïtat

Matemàtiques del científic

2° Bach1823

Matemàtiques

Nombres racionals

Explicació sobre nombres racionals i tot el que s'ha de saber

4° ESO6207

Contenidos más populares

Inglés

irregular verbs quiz

Domina el idioma inglés de manera sencilla y divertida con estos flashcards diseñados especialmente para estudiantes de sexto grado.

6º primaria2,6291

Geografía e Historia

Mesopotamia y Egipto

Contenidos sobre la civilización mesopotámica y egipcia

1° ESO3,7381

Geografía e Historia

Grecia: Inicio de la democracia

Más o menos las preguntas que me pusieron a mí en el examen

1° ESO2,1332

Geografía e Historia

roma

a estudiar Roma!!

1° ESO1,9422

Inglés

Dominando la gramática inglesa: Flashcards desafiantes

Mejora tus habilidades gramaticales en inglés con estos flashcards desafiantes diseñados para estudiantes de grado 11. ¡Prepárate para dominar la gramática inglesa de manera divertida y efectiva!

3° ESO1,9150

Lengua Castellana y Literatura

Apuntes sintaxis

apuntes de sintaxis lengua 1 de bachillerato

4° ESO42,0633,969

Inglés

Irregular verbs

Aprende nuevas palabras y expande tu vocabulario en inglés con esta colección de tarjetas de estudio interactivas.

3° ESO1,5552

Filosofía

filosofía

repaso filosofía "el arje , la metafísica y la crítica de Nietszche a platon"

1° Bach2,6601

Tips de estudio

Apuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO

sacate el teorico con estos apuntes!!!

2° Bach3,134101

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elenausuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Anausuaria de iOS

Matemáticas

Funciones e Identidades Trigonométricas

funciones trigonométricas

Matemàtiques140 visualizaciones·Actualizado May 23, 2026·14 páginas

Introducció a Trigonometria i Nombres Complexos

alejandra@alebarruguer

La trigonometria és una eina súper útil per resoldre problemes amb triangles i angles, i és més fàcil del que sembla! Aquí veuràs com funcionen les raons trigonomètriques i com aplicar-les per resoldre triangles rectangles.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Raons trigonomètriques d'angles aguts

Imagina't que tens un triangle rectangle i vols saber la relació entre els seus costats i angles. Les raons trigonomètriques et permeten fer-ho de manera senzilla.

Hi ha tres relacions fonamentals que sempre es compleixen: tan α = sin α/cos α, sin²α + cos²α = 1, i 1 + tan²α = 1/cos²α. La segona és la més important i la que més utilitzaràs!

Tip important: La relació sin²α + cos²α = 1 ve del teorema de Pitàgores i sempre es compleix, sigui quin sigui l'angle.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Propietats dels angles aguts

Per als angles entre 0° i 90° (el primer quadrant), totes les raons trigonomètriques són positives. Això fa que siguin més fàcils de treballar.

El sin α sempre està entre 0 i 1, igual que el cos α. La tan α sempre és positiva però pot ser qualsevol valor positiu.

Aquesta informació és clau perquè et permet verificar si els teus càlculs són correctes. Si obtens un sinus més gran que 1, ja saps que hi ha alguna cosa malament!

Recorda: En triangles rectangles amb angles aguts, mai obtindràs valors negatius per a sin, cos o tan.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Circumferència goniomètrica i els quatre quadrants

En aquesta circumferència, sin x = coordenada y i cos x = coordenada x del punt on acaba l'angle. Això fa que les raons puguin ser negatives segons el quadrant.

Truc de memòria: "Sin-Tan-Cos" et recorda quina raó és positiva en cada quadrant $II-III-IV respectivament$ .

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Angles especials i taula de valors

Hi ha alguns angles que apareixen constantment: 30°, 45° i 60°. És súper important que te'n recordis els valors exactes.

Per a 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3. Per a 45°: sin = cos = √2/2, tan = 1. Per a 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3.

A la taula també tens tots els valors per als angles més comuns (0°, 90°, 180°, 270°, 360°). Memoritzar-los et farà els exercicis molt més ràpids!

Consell d'estudi: Practica dibuixar els triangles de 30-60-90° i 45-45-90° per recordar millor aquests valors.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Angles fora de l'interval 0° a 360°

Quan tens un angle més gran de 360°, simplement has de trobar el seu angle equivalent entre 0° i 360°. Això es fa dividint per 360° i quedant-te amb el residu.

Per exemple, 1345° = 345° + 360° × 3, així que 1345° és equivalent a 345°. És com si l'angle hagués donat 3 voltes completes i s'hagués quedat a 345°.

Aquest mètode funciona sempre i et permet reduir qualsevol angle a un de més manejable. És com "desenredar" les voltes que ha donat l'angle.

Tip pràctic: Sempre comprova que el teu angle final estigui entre 0° i 360° per evitar errors en els càlculs posteriors.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Treballant amb angles negatius

Els angles negatius simplement es mesuren en sentit horari en lloc d'antihorari. Per convertir-los a l'interval [-180°, 180°], uses el mateix mètode de divisió.

Per exemple, per representar -72°, vas 72° en sentit horari des del 0°. És com anar enrere en lloc d'anar endavant.

Els exemples mostren com convertir angles grans com 3895° tant a l'interval [0°, 360°) com a [-180°, 180°]. Ambdós mètodes són vàlids segons el que necessitis.

Important: Els angles negatius tenen les mateixes raons trigonomètriques que els seus equivalents positius, però alguns signes canvien.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Taula completa de valors trigonomètrics

Aquesta taula és el teu millor amic per als exàmens! Inclou tots els valors exactes (amb arrels) i decimals dels angles més importants.

Fixa't com els valors es repeteixen amb diferents signes segons el quadrant. Per exemple, sin 30° = 1/2 i sin 150° = 1/2, però sin 210° = -1/2.

La simetria és clau: molts angles tenen les mateixes raons trigonomètriques però amb signes diferents. Això et pot ajudar a memoritzar més fàcilment.

Estratègia d'examen: Porta sempre aquesta informació fresca a la memòria, especialment els valors de 30°, 45° i 60°.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Calculadora i relacions entre angles

Els angles complementaris (que sumen 90°) tenen una relació especial: sin d'un = cos de l'altre. Això és molt útil per resoldre equacions!

Atenció: Sempre comprova en quin quadrant ha d'estar la teva resposta per escollir l'angle correcte de la calculadora.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Més relacions entre angles especials

Els angles complementaris tenen una propietat molt xula: sin(90° - α) = cos α i cos(90° - α) = sin α. És com si s'intercanviessin les raons!

Quan l'angle difereix en 90° $α i 90° + α$ , també hi ha patrons clars: sin(90° + α) = cos α però cos(90° + α) = -sin α.

Aquestes relacions et permeten convertir qualsevol raó trigonomètrica en una altra, cosa molt útil per simplificar expressions complexes.

Truc útil: Si et trobes amb sin de 90° menys alguna cosa, automàticament pensa en cosinus d'aquesta alguna cosa.

of 10

$# TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS UNITAT 4: RESOLUCIÓ DE TRIANGLES $(\text{Sina})^2$: $\sin^2x$ $(\cos x)^2$: $\cos^2x$ $(\text{tanga})^$

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Resolució de triangles rectangles

Ara ve la part pràctica! Per resoldre un triangle rectangle, necessites coneguts almenys un costat i un angle (a més de l'angle recte).

Els passos són simples: identifica quina raó trigonomètrica relaciona les dades conegudes amb la incògnita. Per exemple, si tens la hipotenusa i vols un catet, usa sin o cos segons el catet.

Als exemples veus com amb sin 57° = b/32 pots trobar b = 32 × sin 57°. Sempre despeça la incògnita i substitueix els valors coneguts.

Metodologia d'èxit: Sempre dibuixa el triangle, etiqueta tots els elements coneguts i decideix quina raó trigonomètrica necessites abans de calcular.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.