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Actualizado Apr 5, 2026
•
Introducció a Trigonometria i Nombres Complexos
alejandra
@alebarruguer
1 / 10
Raons trigonomètriques d'angles aguts
Imagina't que tens un triangle rectangle i vols saber la relació entre els seus costats i angles. Les raons trigonomètriques et permeten fer-ho de manera senzilla.
Les tres raons bàsiques són: sin α = catet oposat/hipotenusa, cos α = catet adjacent/hipotenusa i tan α = catet oposat/catet adjacent. També existeixen les raons recíproques com cosecant, secant i cotangent, però aquestes són les inverses de les anteriors.
Hi ha tres relacions fonamentals que sempre es compleixen: tan α = sin α/cos α, sin²α + cos²α = 1, i 1 + tan²α = 1/cos²α. La segona és la més important i la que més utilitzaràs!
Tip important: La relació sin²α + cos²α = 1 ve del teorema de Pitàgores i sempre es compleix, sigui quin sigui l'angle.
Propietats dels angles aguts
Per als angles entre 0° i 90° (el primer quadrant), totes les raons trigonomètriques són positives. Això fa que siguin més fàcils de treballar.
El sin α sempre està entre 0 i 1, igual que el cos α. La tan α sempre és positiva però pot ser qualsevol valor positiu.
Aquesta informació és clau perquè et permet verificar si els teus càlculs són correctes. Si obtens un sinus més gran que 1, ja saps que hi ha alguna cosa malament!
Recorda: En triangles rectangles amb angles aguts, mai obtindràs valors negatius per a sin, cos o tan.
Circumferència goniomètrica i els quatre quadrants
Ara ve la part interessant: què passa quan l'angle és més gran de 90°? Aquí entra la circumferència goniomètrica, una circumferència de radi 1 que ens permet treballar amb qualsevol angle.
En aquesta circumferència, sin x = coordenada y i cos x = coordenada x del punt on acaba l'angle. Això fa que les raons puguin ser negatives segons el quadrant.
Els signes canvien segons on estigui l'angle: al I quadrant tot és positiu, al II quadrant només sin és positiu, al III quadrant només tan és positiva, i al IV quadrant només cos és positiu.
Truc de memòria: "Sin-Tan-Cos" et recorda quina raó és positiva en cada quadrant .
Angles especials i taula de valors
Hi ha alguns angles que apareixen constantment: 30°, 45° i 60°. És súper important que te'n recordis els valors exactes.
Per a 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3. Per a 45°: sin = cos = √2/2, tan = 1. Per a 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3.
A la taula també tens tots els valors per als angles més comuns (0°, 90°, 180°, 270°, 360°). Memoritzar-los et farà els exercicis molt més ràpids!
Consell d'estudi: Practica dibuixar els triangles de 30-60-90° i 45-45-90° per recordar millor aquests valors.
Angles fora de l'interval 0° a 360°
Quan tens un angle més gran de 360°, simplement has de trobar el seu angle equivalent entre 0° i 360°. Això es fa dividint per 360° i quedant-te amb el residu.
Per exemple, 1345° = 345° + 360° × 3, així que 1345° és equivalent a 345°. És com si l'angle hagués donat 3 voltes completes i s'hagués quedat a 345°.
Aquest mètode funciona sempre i et permet reduir qualsevol angle a un de més manejable. És com "desenredar" les voltes que ha donat l'angle.
Tip pràctic: Sempre comprova que el teu angle final estigui entre 0° i 360° per evitar errors en els càlculs posteriors.
Treballant amb angles negatius
Els angles negatius simplement es mesuren en sentit horari en lloc d'antihorari. Per convertir-los a l'interval [-180°, 180°], uses el mateix mètode de divisió.
Per exemple, per representar -72°, vas 72° en sentit horari des del 0°. És com anar enrere en lloc d'anar endavant.
Els exemples mostren com convertir angles grans com 3895° tant a l'interval [0°, 360°) com a [-180°, 180°]. Ambdós mètodes són vàlids segons el que necessitis.
Important: Els angles negatius tenen les mateixes raons trigonomètriques que els seus equivalents positius, però alguns signes canvien.
Taula completa de valors trigonomètrics
Aquesta taula és el teu millor amic per als exàmens! Inclou tots els valors exactes (amb arrels) i decimals dels angles més importants.
Fixa't com els valors es repeteixen amb diferents signes segons el quadrant. Per exemple, sin 30° = 1/2 i sin 150° = 1/2, però sin 210° = -1/2.
La simetria és clau: molts angles tenen les mateixes raons trigonomètriques però amb signes diferents. Això et pot ajudar a memoritzar més fàcilment.
Estratègia d'examen: Porta sempre aquesta informació fresca a la memòria, especialment els valors de 30°, 45° i 60°.
Calculadora i relacions entre angles
Quan uses la calculadora, recorda que les funcions arcsinus, arccosinus i arctangent et donen valors en intervals limitats. Arcsin i arctan donen valors entre -90° i 90°, mentre que arccos dona entre 0° i 180°.
Les relacions entre angles són súper útils: els angles suplementaris (que sumen 180°) tenen sin iguals però cos i tan oposats. Els angles que difereixen en 180° tenen sin i cos oposats però tan igual.
Els angles complementaris (que sumen 90°) tenen una relació especial: sin d'un = cos de l'altre. Això és molt útil per resoldre equacions!
Atenció: Sempre comprova en quin quadrant ha d'estar la teva resposta per escollir l'angle correcte de la calculadora.
Més relacions entre angles especials
Els angles complementaris tenen una propietat molt xula: sin(90° - α) = cos α i cos(90° - α) = sin α. És com si s'intercanviessin les raons!
Quan l'angle difereix en 90° , també hi ha patrons clars: sin(90° + α) = cos α però cos(90° + α) = -sin α.
Aquestes relacions et permeten convertir qualsevol raó trigonomètrica en una altra, cosa molt útil per simplificar expressions complexes.
Truc útil: Si et trobes amb sin de 90° menys alguna cosa, automàticament pensa en cosinus d'aquesta alguna cosa.
Resolució de triangles rectangles
Ara ve la part pràctica! Per resoldre un triangle rectangle, necessites coneguts almenys un costat i un angle (a més de l'angle recte).
Els passos són simples: identifica quina raó trigonomètrica relaciona les dades conegudes amb la incògnita. Per exemple, si tens la hipotenusa i vols un catet, usa sin o cos segons el catet.
Als exemples veus com amb sin 57° = b/32 pots trobar b = 32 × sin 57°. Sempre despeça la incògnita i substitueix els valors coneguts.
Metodologia d'èxit: Sempre dibuixa el triangle, etiqueta tots els elements coneguts i decideix quina raó trigonomètrica necessites abans de calcular.
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Introducció a Trigonometria i Nombres Complexos
alejandra
@alebarruguer
La trigonometria és una eina súper útil per resoldre problemes amb triangles i angles, i és més fàcil del que sembla! Aquí veuràs com funcionen les raons trigonomètriques i com aplicar-les per resoldre triangles rectangles.
Raons trigonomètriques d'angles aguts
Imagina't que tens un triangle rectangle i vols saber la relació entre els seus costats i angles. Les raons trigonomètriques et permeten fer-ho de manera senzilla.
Les tres raons bàsiques són: sin α = catet oposat/hipotenusa, cos α = catet adjacent/hipotenusa i tan α = catet oposat/catet adjacent. També existeixen les raons recíproques com cosecant, secant i cotangent, però aquestes són les inverses de les anteriors.
Hi ha tres relacions fonamentals que sempre es compleixen: tan α = sin α/cos α, sin²α + cos²α = 1, i 1 + tan²α = 1/cos²α. La segona és la més important i la que més utilitzaràs!
Tip important: La relació sin²α + cos²α = 1 ve del teorema de Pitàgores i sempre es compleix, sigui quin sigui l'angle.
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Propietats dels angles aguts
Per als angles entre 0° i 90° (el primer quadrant), totes les raons trigonomètriques són positives. Això fa que siguin més fàcils de treballar.
El sin α sempre està entre 0 i 1, igual que el cos α. La tan α sempre és positiva però pot ser qualsevol valor positiu.
Aquesta informació és clau perquè et permet verificar si els teus càlculs són correctes. Si obtens un sinus més gran que 1, ja saps que hi ha alguna cosa malament!
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Circumferència goniomètrica i els quatre quadrants
Ara ve la part interessant: què passa quan l'angle és més gran de 90°? Aquí entra la circumferència goniomètrica, una circumferència de radi 1 que ens permet treballar amb qualsevol angle.
En aquesta circumferència, sin x = coordenada y i cos x = coordenada x del punt on acaba l'angle. Això fa que les raons puguin ser negatives segons el quadrant.
Els signes canvien segons on estigui l'angle: al I quadrant tot és positiu, al II quadrant només sin és positiu, al III quadrant només tan és positiva, i al IV quadrant només cos és positiu.
Truc de memòria: "Sin-Tan-Cos" et recorda quina raó és positiva en cada quadrant .
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Angles especials i taula de valors
Hi ha alguns angles que apareixen constantment: 30°, 45° i 60°. És súper important que te'n recordis els valors exactes.
Per a 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3. Per a 45°: sin = cos = √2/2, tan = 1. Per a 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3.
A la taula també tens tots els valors per als angles més comuns (0°, 90°, 180°, 270°, 360°). Memoritzar-los et farà els exercicis molt més ràpids!
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Angles fora de l'interval 0° a 360°
Quan tens un angle més gran de 360°, simplement has de trobar el seu angle equivalent entre 0° i 360°. Això es fa dividint per 360° i quedant-te amb el residu.
Per exemple, 1345° = 345° + 360° × 3, així que 1345° és equivalent a 345°. És com si l'angle hagués donat 3 voltes completes i s'hagués quedat a 345°.
Aquest mètode funciona sempre i et permet reduir qualsevol angle a un de més manejable. És com "desenredar" les voltes que ha donat l'angle.
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Per exemple, per representar -72°, vas 72° en sentit horari des del 0°. És com anar enrere en lloc d'anar endavant.
Els exemples mostren com convertir angles grans com 3895° tant a l'interval [0°, 360°) com a [-180°, 180°]. Ambdós mètodes són vàlids segons el que necessitis.
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Les relacions entre angles són súper útils: els angles suplementaris (que sumen 180°) tenen sin iguals però cos i tan oposats. Els angles que difereixen en 180° tenen sin i cos oposats però tan igual.
Els angles complementaris (que sumen 90°) tenen una relació especial: sin d'un = cos de l'altre. Això és molt útil per resoldre equacions!
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Quan l'angle difereix en 90° , també hi ha patrons clars: sin(90° + α) = cos α però cos(90° + α) = -sin α.
Aquestes relacions et permeten convertir qualsevol raó trigonomètrica en una altra, cosa molt útil per simplificar expressions complexes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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