Classificació dels Nombres Reals

Tots els números que pots imaginar formen el conjunt dels nombres reals (ℝ). És com una gran família amb diferents grups!

Els nombres racionals (ℚ) són tots els que pots escriure com una fracció. Dins trobem els naturals (0, 1, 2, 3...), els enters negatius (-1, -2, -3...) i els decimals com 2,7 o -0,54.

Els nombres irracionals (I) són els "rebels" - tenen infinits decimals sense repetir-se mai. Els més famosos són π i √2.

Convertir decimals a fraccions és més fàcil del que sembla:

• Decimals exactes: 3,75 = 375/100
• Decimals periòdics purs: 12,72̄ = (127-12)/9 = 115/9
• Decimals periòdics mixtos: 5,8356̄ = (58356-583)/9900

Recorda: Si pots posar-lo en forma de fracció, és racional. Si no, és irracional!

Intervals i Semirectes

Els intervals t'ajuden a expressar conjunts de números de manera clara i visual. És com delimitar trossos de la recta numèrica.

Intervals oberts (2,5): ni el 2 ni el 5 s'inclouen. Són tots els números entre 2 i 5, però sense tocar els extrems.

Intervals tancats $2,5$: tant el 2 com el 5 s'inclouen. Abracem tots els números des del 2 fins al 5, inclosos.

Intervals semioberts [2,5): només un extrem s'inclou. En aquest cas, el 2 sí però el 5 no.

Les semirectes arriben fins a l'infinit. Per exemple, $-∞, 2] inclou tots els números menors o iguals a 2, i [5, +∞$ inclou tots els números més grans o iguals a 5.

Truc visual: Els parèntesis ( ) exclouen, els claudàtors $$ inclouen!

Arrels i Radicals - Formes d'Expressió

Les arrels es poden escriure de dues maneres diferents: forma radical (amb el símbol √) i forma exponencial (amb potències fraccionàries).

En la forma radical ⁿ√(aᵐ), tenim tres parts clau: n és l'índex (si no apareix, és 2), a és el radicand (el número de dins) i m és l'exponent (si no apareix, és 1).

La conversió entre formes és directa: ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ

Exemples pràctics:

• √x = x^(1/2)
• ³√(a²b³) = a^(2/3) · b^(3/2) = a · b^(3/2)
• x^(4/3) = ³√(x⁴)
• (m²n)^(5/4) = ⁴√(m¹⁰n⁵)

Consell: Practica la conversió entre formes - és una habilitat que utilitzaràs constantment!

Propietats dels Radicals

Treballar amb radicals és com seguir un manual d'instruccions. Hi ha tres operacions clau que has de dominar.

Simplificar radicals: descomposa el número, passa a forma exponencial, simplifica els exponents i torna a la forma radical. Per exemple: ⁴√9 = ⁴√(3²) = 3^(2/4) = 3^(1/2) = √3

Treure factors fora de l'arrel: descomposa el número i agrupa segons l'índex. Així √18 = √(2·3²) = 3√2, i √720 = √(2⁴·3²·5) = 12√5

Potència d'un radical: els exponents es multipliquen. (√(2³))⁴ = √(2¹²) = 2⁶

Arrels d'arrels: els índexs es multipliquen. ³√(⁴√12) = ¹²√12

Recorda: Sempre descomposa els números en factors primers - és la clau per simplificar!

Suma i Resta de Radicals

Només pots sumar o restar radicals que siguin "germans": mateix índex i mateix radicand (número de dins l'arrel).

Quan els radicals són iguals, sumes o restes els coeficients (números de davant). Si no ho són, has de treure factors fora de l'arrel primer.

Exemple pràctic: √32 + √18 - √50

1. Descomposa: √(2⁵) + √(2·3²) - √(2·5²)
2. Treure factors: 4√2 + 3√2 - 5√2
3. Operar: (4 + 3 - 5)√2 = 2√2

Altre exemple: 11√5 - 3√2 + 7√5 - √2 = 18√5 - 4√2

Els termes amb √5 es combinen entre ells, i els amb √2 també, però no es poden barrejar.

Estratègia: Agrupa primers els radicals iguals, després opera amb els coeficients!

Comparació i Operacions amb Radicals

Per comparar radicals diferents, has de reduir-los a índex comú, com buscar un denominador comú amb fraccions.

Per exemple, per comparar ³√2 i ⁴√3:

• ³√2 = ¹²√(2⁴) = ¹²√16
• ⁴√3 = ¹²√(3³) = ¹²√27
• Com 27 > 16, aleshores ⁴√3 > ³√2

Per multiplicar i dividir radicals, també necessites el mateix índex. Després operes amb els radicands.

Multiplicació: ³√4 · ³√2 = ³√(4·2) = ³√8 = 2

Divisió: √16/√4 = √(16/4) = √4 = 2

Tip important: Reduir a índex comú és com trobar un "idioma comú" per als radicals!

Racionalització - Cas 1

Racionalitzar significa eliminar les arrels del denominador. És una tècnica essencial per expressar fraccions de manera estàndard.

Per al cas més simple (arrel quadrada al denominador), multipliques numerador i denominador per la mateixa arrel.

Exemples bàsics:

• 2/√3 · √3/√3 = 2√3/3
• 5/√2 · √2/√2 = 5√2/2
• √5/√7 · √7/√7 = √35/7

El truc és que √a · √a = a, així l'arrel del denominador desapareix.

Quan tens un coeficient al denominador com 2√6, multipliques per la mateixa expressió: 3/(2√6) · √6/√6 = 3√6/(2·6) = 3√6/12 = √6/4

Recorda: L'objectiu és sempre aconseguir un número sencer al denominador!

Racionalització - Casos Avançats

Quan el denominador té sumes o restes amb arrels $com 3+√2$, utilitzes el conjugat.

El conjugat de $a+b$ és $a-b$. Quan multipliques conjugats, les arrels desapareixen: $a+√b$$a-√b$ = a² - b

Exemples pràctics:

• 2/(3+√2) · (3-√2)/(3-√2) = 2(3-√2)/(9-2) = (6-2√2)/7

• 3/(2-√3) · (2+√3)/(2+√3) = 3(2+√3)/(4-3) = 6+3√3

• 4/(√3+√2) · (√3-√2)/(√3-√2) = 4(√3-√2)/(3-2) = 4√3-4√2

El denominador sempre queda com una diferència de quadrats, eliminant les arrels.

Truc del conjugat: Si veus + canvia'l per -, i si veus - canvia'l per +!

Notació Científica i Xifres Significatives

La notació científica t'ajuda a escriure números molt grans o molt petits de manera compacta: a × 10ⁿ, on 1 ≤ a < 10.

Per convertir:

• Números grans: 343.000.000 = 3,43 × 10⁸ (mou la coma 8 posicions cap a l'esquerra)
• Números petits: 0,00083 = 8,3 × 10⁻⁴ (mou la coma 4 posicions cap a la dreta, exponent negatiu)

Les xifres significatives són tots els dígits que aporten informació sobre la precisió del número:

• 3,18 × 10⁻⁴ té 3 xifres significatives
• 6.157.000 té 4 xifres significatives (els zeros finals poden ser o no significatius)

Aquesta notació és essencial en ciències per expressar mesures amb precisió adequada.

Regla d'or: Mou la coma fins que tinguis un sol dígit diferent de zero a l'esquerra!