Concepte de funció

Una funció és com una màquina perfecta: per cada valor que hi poses (variable independent x), sempre obtens exactament un resultat (variable dependent y). Aquesta relació s'escriu com y = f$x$.

La gràfica d'una funció és el conjunt de tots els punts (x,y) que pots dibuixar en un pla cartesià. És la manera visual de veure com funciona aquesta "màquina matemàtica".

💡 Truc: Per comprovar si has calculat bé f$x$, substitueix sempre el valor de x a la fórmula pas a pas.

Domini de les funcions

El domini d'una funció són tots els valors de x que pots utilitzar sense que la funció "es trenqui". Depèn del tipus de funció que tinguis.

Les funcions polinòmiques $com x² + 3x + 1$ funcionen amb tots els números reals. No hi ha cap restricció!

Les funcions racionals (fraccions amb x al denominador) no poden tenir el denominador igual a zero. Has de trobar quins valors fan que el denominador sigui 0 i excloure'ls del domini.

💡 Recorda: El denominador mai pot ser zero, és la regla d'or de les fraccions.

Funcions amb arrels quadrades

Quan tens arrels quadrades a la funció, has d'anar amb compte perquè no pots calcular l'arrel quadrada d'un número negatiu (almenys amb números reals).

El domini serà tots els nombres reals excepte aquells que facin que el que hi ha dins l'arrel sigui negatiu. Per tant: Domini = ℝ - {valors que fan g$x$ < 0}.

Sempre comprova que el radicand (el que hi ha dins l'arrel) sigui positiu o zero.

💡 Tip: Resol la desigualtat g$x$ ≥ 0 per trobar el domini correcte.

Funció inversa

La funció inversa f⁻¹ "desfà" el que fa la funció original. Si f(1) = 3, llavors f⁻¹(3) = 1.

Com trobar la inversa en 4 passos:

1. Intercanvia x per y a la fórmula original
2. Aïlla la y de la nova equació
3. Anomena aquesta nova expressió f⁻¹$x$
4. Comprova que funciona amb un exemple

Per exemple, si f$x$ = 2x + 1, la seva inversa és f⁻¹$x$ = $x-1$/2.

💡 Comprovació: f(f⁻¹$x$) sempre ha de donar x si has fet els càlculs correctament.

Simetria de funcions

Les funcions poden tenir dos tipus de simetria que les fan especialment interessants d'estudiar.

Funcions parelles: f$-x$ = f$x$. Són simètriques respecte l'eix y (com una papallona). Exemples: x⁴ - 4x², x² + 1.

Funcions senars: f$-x$ = -f$x$. Són simètriques respecte l'origen (gir de 180°). Exemples: x³, x⁵ - 5x³ + 4x.

Per determinar la simetria, substitueix x per -x i compara el resultat amb f$x$ i -f$x$.

💡 Truc visual: Les funcions parelles semblen mariposes, les senars semblen "S" allargades.

Tipus de funcions

Les funcions es classifiquen en dos grans grups segons la seva complexitat matemàtica.

Funcions algebraiques:

• Polinòmiques: x², 2x + 1, x³ - 4x (les més senzilles)
• Racionals: fraccions com (2x³)/$x² - 3$
• Irracionals: amb arrels, com √x

Funcions transcendents:

• Exponencials: 2ˣ (creixement ràpid)
• Logarítmiques: log x (inversa de l'exponencial)
• Trigonomètriques: sin x, cos x, tan x

💡 Per recordar: Algebraiques són "normals", transcendents són més "exòtiques" però súper útils.

Punts de tall amb els eixos

Trobar els punts de tall t'ajuda a entendre com es comporta la funció i és essencial per fer la gràfica.

Tall amb l'eix y: Substitueix x = 0 a la funció. Només hi haurà un punt (si no, no seria funció).

Tall amb l'eix x: Resol l'equació f$x$ = 0. Aquí pot haver-hi zero, un o diversos punts de tall.

El signe de la funció et diu si la gràfica està per sobre (f$x$ > 0) o per sota (f$x$ < 0) de l'eix x entre els punts de tall.

💡 Estratègia: Dibuixar els punts de tall primer et facilitarà molt fer l'esbós de la gràfica.

Continuïtat i monotonia

Una funció és contínua si pots dibuixar-la sense aixecar el llapis del paper. Les discontinuïtats apareixen quan hi ha salts o forats a la gràfica.

Creixement i decreixement:

• Creixent: quan x augmenta, y també augmenta
• Decreixent: quan x augmenta, y disminueix
• Estrictament: quan no hi ha trams horitzontals

Pots identificar aquests comportaments observant la gràfica de esquerra a dreta.

💡 Visual: Si "puges el turó" la funció creix, si "bajes el turó" decreix.

Màxims, mínims i concavitat

Els màxims i mínims són els "pics" i "valls" de la funció. Poden ser relatius (locals) o absoluts (globals a tot el domini).

Concavitat i convexitat:

• Còncava: com una cova (∩), "trista"
• Convexa: com una muntanya (∪), "contenta"

El punt d'inflexió és on la funció canvia de còncava a convexa o viceversa. És com el "canvi de curvatura" de la gràfica.

Aquests conceptes són claus per entendre el comportament complet d'una funció.

💡 Nemotècnia: Còncava = Cova (cap avall), Convexa = Ventrada cap amunt.