Matemáticas

Ecuaciones Lineales y Gráficas

Ecuaciones lineales de dos variables

278

•

Actualizado Mar 27, 2026

•

13 páginas

Matemàtiques: Vectors i Geometria

Berta Molina Olvera

@bertamolinaolvera_tdhe

Els vectors són una eina fonamental per entendre la geometria... Mostrar más

1 / 10

# 6 - VECTORS i GEOMETRIA

ANALÍTICA

VECTORS

Segment orientat al pla que va d'un punt A a un punt B:

AB

Mòdul: longitud

Direcció: horit

Vectors: Conceptes Bàsics i Operacions

Els vectors són segments orientats que tenen tres característiques clau: mòdul (longitud), direcció $horitzontal/vertical$ i sentit $positiu/negatiu$ . És com una fletxa que et diu cap a on i amb quina intensitat vas.

Quan treballes amb vectors en components, utilitzes la base ortonormal amb vectors î i ĵ de mòdul 1 i perpendiculars entre ells. Per exemple, el vector (2,3) significa 2î + 3ĵ.

Les operacions amb vectors són súper directes: per sumar vectors sumes component a component, per restar restes component a component, i per multiplicar per un escalar multipliques cada component pel número. Així de simple!

Consell clau: Sempre recorda que les operacions es fan component per component - és la regla d'or dels vectors.

Producte Escalar de Vectors

El producte escalar és una operació que et dona un número (no un vector) i té dues fórmules útils. La geomètrica: û·v̂ = |û||v̂|cos(angle) i la de components: û·v̂ = u₁v₁ + u₂v₂.

La part més útil del producte escalar és que quan dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és 0. Això et permet detectar angles rectes fàcilment!

Per calcular el mòdul d'un vector, uses la fórmula |û| = √ $u₁² + u₂²$ . I si vols trobar l'angle entre dos vectors, uses cos(angle) = (û·v̂)/(|û||v̂|) i després apliques arccos.

Truc d'examen: Si el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars. Si és positiu, l'angle és agut; si és negatiu, l'angle és obtús.

Equacions de la Recta: Formes Bàsiques

Una recta al pla es pot expressar de diferents maneres segons el que necessitis. L'equació vectorial té la forma (x,y) = (a₁,a₂) + λ(v₁,v₂), on λ és un paràmetre real que et dona tots els punts de la recta.

L'equació paramètrica separa les components: x = a₁ + λv₁ i y = a₂ + λv₂. És molt útil per trobar punts concrets de la recta donant valors a λ.

L'equació contínua elimina el paràmetre: $x-a₁$ /v₁ = $y-a₂$ /v₂. Amb aquesta forma pots comprovar ràpidament si un punt pertany a la recta.

Estratègia: Usa la forma paramètrica per trobar punts, la contínua per verificar si un punt pertany a la recta, i la vectorial per visualitzar millor la recta.

Recta Determinada per Dos Punts

Quan tens dos punts A i B i vols trobar l'equació de la recta que passa per ells, primer calcules el vector direcció AB = B - A. Aquest vector et marca la direcció de la recta.

Després ja pots escriure totes les formes de l'equació: vectorial, paramètrica i contínua, utilitzant qualsevol dels dos punts com a punt base i el vector AB com a vector direcció.

És important que practicar aquest procés perquè és la base per resoldre molts problemes de geometria analítica. Una vegada dominis aquest mètode, podràs passar fàcilment d'una forma d'equació a una altra.

Nota important: El vector direcció sempre es calcula com punt final menys punt inicial: AB = B - A.

Formes d'Equació de la Recta

A més de les formes vectorial, paramètrica i contínua, tens l'equació general (implícita): Ax + By + C = 0. El vector direcció d'aquesta recta és $B, -A$ o $-B, A$ .

L'equació explícita és y = mx + n, on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada a l'origen (el punt on la recta talla l'eix y).

Per passar de la forma general a l'explícita, simplement aïlles la y: de Ax + By + C = 0 obtens y = $-A/B$ x - C/B. Això et permet veure directament el pendent i l'ordenada a l'origen.

Consell pràctic: La forma explícita y = mx + n és perfecta per representar gràficament la recta i entendre el seu comportament visual.

Posició Relativa de Dues Rectes

Quan tens dues rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, pots determinar la seva posició comparant les ràtios dels coeficients.

Si A/A' ≠ B/B', les rectes són secants (es tallen en un punt). Pots trobar aquest punt resolent el sistema d'equacions.

Si A/A' = B/B' = C/C', són la mateixa recta. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', són paral·leles (no es tallen mai).

Metodologia d'examen: Sempre comprova primer les ràtios A/A' i B/B'. Això et dirà immediatament si són secants o no, i després mira C/C' per distingir entre coincidents i paral·leles.

Feixos de Rectes

Un feix de rectes és un conjunt de rectes que comparteixen una propietat comuna. Hi ha dos tipus principals que has de conèixer.

El feix de rectes amb punt comú té l'equació y - y₀ = m $x - x₀$ , on (x₀, y₀) és el punt fix i m és la variable que canvia per donar-te diferents rectes.

El feix de rectes paral·leles manté constant la direcció però canvia la posició. Totes tenen el mateix pendent però diferent ordenada a l'origen.

Aplicació útil: Els feixos són especialment útils per trobar rectes que compleixin condicions específiques, com passar per un punt determinat o ser paral·lela a una recta donada.

Angle Entre Dues Rectes Secants

Per calcular l'angle entre dues rectes secants, utilitzes la fórmula del cosinus amb els seus vectors direcció. El resultat sempre et dona un angle menor de 90°.

Si tens les rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, la fórmula és: cos α = |AA' + BB'|/√ $A² + B²$ √ $A'² + B'²$ .

Els vectors direcció d'aquestes rectes són $B, -A$ i $B', -A'$ respectivament. Recorda sempre posar el valor absolut al numerador per obtenir l'angle agut.

Detall important: Sempre uses valor absolut al numerador perquè vols l'angle més petit entre les dues rectes, no l'angle obtús.

Distància Entre Punts i Punt-Recta

La distància entre dos punts A(a₁,a₂) i B(b₁,b₂) és simplement el mòdul del vector AB: d(A,B) = √ $(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)²$ . És el teorema de Pitàgores aplicat!

Per calcular la distància d'un punt P(a,b) a una recta Ax + By + C = 0, uses la fórmula: d(P,r) = |Aa + Bb + C|/√ $A² + B²$ .

Aquesta fórmula és súper pràctica perquè només necessites substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta i dividir pel mòdul del vector normal.

Truc de memòria: Per recordar la fórmula punt-recta, pensa que substitueixes el punt a l'equació de la recta i divideixes per la "longitud" dels coeficients A i B.

Distància Entre Dues Rectes

La distància entre dues rectes depèn de la seva posició relativa. Si són secants o coincidents, la distància és 0. Només té sentit calcular distància entre rectes paral·leles.

Per trobar la distància entre rectes paral·leles, agafes qualsevol punt d'una recta i calcules la seva distància a l'altra recta utilitzant la fórmula punt-recta.

Els exercicis pràctics mostren com aplicar aquestes fórmules: substitueixes coordenades, operes amb valors absoluts i obtens la distància en unitats de longitud.

Estratègia de resolució: Primer verifica que les rectes siguin paral·leles, després agafa un punt fàcil d'una recta $com fer λ=0 en la paramètrica$ i aplica la fórmula punt-recta.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Contenidos más populares de Matemàtiques

Teoria nombres reals

Els nombres reals

Matemàtiques

4° ESO

Contenidos más populares

Domina la gramática inglesa

Domina la gramática inglesa en poco tiempo

Inglés

1° Bach

Funciones, límites y continuidad

Apuntes de funciones, límites y continuidad para 1-2 Bachillerato

Matemáticas

PAU (2° Bach)

Apuntes sintaxis

apuntes de sintaxis lengua 1 de bachillerato

Lengua Castellana y Literatura

PAU (2° Bach)

QUIZZ VIDA DIARIA#1

QUIZZ sobre tu vida diaria, psicológico para mejorar el estudio.:] [ Cualquier pregunta, la responderé ]^^

Tips de estudio

1° ESO

Descartes

Apuntes de Descartes de la asignatura de Historia de la Filosofía de 2° Bachillerato

Filosofía

PAU (2° Bach)

Sintaxis 2 bach

Todas las subordinadas + tipos de se

Lengua Castellana y Literatura

2° Bach

Sintaxis

Contenidos: sujeto y predicado, sintagmas y complementos. Todo con ejemplos

Lengua Castellana y Literatura

2°M

Resumen el Cuarto de Atrás

Resumen de tema por tema de el libro del Cuarto de Atrás de Carmen Martín Gaite 2º Bach

Lengua Castellana y Literatura

PAU (2° Bach)

Sintaxis

Sintexis de Lengua Castellana. Incluye las oraciones simples, los complementos y todas las oraciones compuestas

Lengua Castellana y Literatura

PAU (2° Bach)

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS

Matemáticas

Ecuaciones Lineales y Gráficas

Ecuaciones lineales de dos variables

Matemàtiques

•

278

•

Actualizado Mar 27, 2026

•

13 páginas

Matemàtiques: Vectors i Geometria

Berta Molina Olvera

L'equació paramètrica separa les components: x = a₁ + λv₁ i y = a₂ + λv₂. És molt útil per trobar punts concrets de la recta donant valors a λ.

L'equació contínua elimina el paràmetre: $x-a₁$ /v₁ = $y-a₂$ /v₂. Amb aquesta forma pots comprovar ràpidament si un punt pertany a la recta.

Estratègia: Usa la forma paramètrica per trobar punts, la contínua per verificar si un punt pertany a la recta, i la vectorial per visualitzar millor la recta.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Recta Determinada per Dos Punts

Quan tens dos punts A i B i vols trobar l'equació de la recta que passa per ells, primer calcules el vector direcció AB = B - A. Aquest vector et marca la direcció de la recta.

Després ja pots escriure totes les formes de l'equació: vectorial, paramètrica i contínua, utilitzant qualsevol dels dos punts com a punt base i el vector AB com a vector direcció.

Nota important: El vector direcció sempre es calcula com punt final menys punt inicial: AB = B - A.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Formes d'Equació de la Recta

A més de les formes vectorial, paramètrica i contínua, tens l'equació general (implícita): Ax + By + C = 0. El vector direcció d'aquesta recta és $B, -A$ o $-B, A$ .

L'equació explícita és y = mx + n, on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada a l'origen (el punt on la recta talla l'eix y).

Per passar de la forma general a l'explícita, simplement aïlles la y: de Ax + By + C = 0 obtens y = $-A/B$ x - C/B. Això et permet veure directament el pendent i l'ordenada a l'origen.

Consell pràctic: La forma explícita y = mx + n és perfecta per representar gràficament la recta i entendre el seu comportament visual.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Posició Relativa de Dues Rectes

Quan tens dues rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, pots determinar la seva posició comparant les ràtios dels coeficients.

Si A/A' ≠ B/B', les rectes són secants (es tallen en un punt). Pots trobar aquest punt resolent el sistema d'equacions.

Si A/A' = B/B' = C/C', són la mateixa recta. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', són paral·leles (no es tallen mai).

Metodologia d'examen: Sempre comprova primer les ràtios A/A' i B/B'. Això et dirà immediatament si són secants o no, i després mira C/C' per distingir entre coincidents i paral·leles.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Feixos de Rectes

Un feix de rectes és un conjunt de rectes que comparteixen una propietat comuna. Hi ha dos tipus principals que has de conèixer.

El feix de rectes amb punt comú té l'equació y - y₀ = m $x - x₀$ , on (x₀, y₀) és el punt fix i m és la variable que canvia per donar-te diferents rectes.

El feix de rectes paral·leles manté constant la direcció però canvia la posició. Totes tenen el mateix pendent però diferent ordenada a l'origen.

Aplicació útil: Els feixos són especialment útils per trobar rectes que compleixin condicions específiques, com passar per un punt determinat o ser paral·lela a una recta donada.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Angle Entre Dues Rectes Secants

Per calcular l'angle entre dues rectes secants, utilitzes la fórmula del cosinus amb els seus vectors direcció. El resultat sempre et dona un angle menor de 90°.

Si tens les rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, la fórmula és: cos α = |AA' + BB'|/√ $A² + B²$ √ $A'² + B'²$ .

Els vectors direcció d'aquestes rectes són $B, -A$ i $B', -A'$ respectivament. Recorda sempre posar el valor absolut al numerador per obtenir l'angle agut.

Detall important: Sempre uses valor absolut al numerador perquè vols l'angle més petit entre les dues rectes, no l'angle obtús.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Distància Entre Punts i Punt-Recta

La distància entre dos punts A(a₁,a₂) i B(b₁,b₂) és simplement el mòdul del vector AB: d(A,B) = √ $(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)²$ . És el teorema de Pitàgores aplicat!

Per calcular la distància d'un punt P(a,b) a una recta Ax + By + C = 0, uses la fórmula: d(P,r) = |Aa + Bb + C|/√ $A² + B²$ .

Aquesta fórmula és súper pràctica perquè només necessites substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta i dividir pel mòdul del vector normal.

Truc de memòria: Per recordar la fórmula punt-recta, pensa que substitueixes el punt a l'equació de la recta i divideixes per la "longitud" dels coeficients A i B.

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Distància Entre Dues Rectes

La distància entre dues rectes depèn de la seva posició relativa. Si són secants o coincidents, la distància és 0. Només té sentit calcular distància entre rectes paral·leles.

Per trobar la distància entre rectes paral·leles, agafes qualsevol punt d'una recta i calcules la seva distància a l'altra recta utilitzant la fórmula punt-recta.

Els exercicis pràctics mostren com aplicar aquestes fórmules: substitueixes coordenades, operes amb valors absoluts i obtens la distància en unitats de longitud.

Estratègia de resolució: Primer verifica que les rectes siguin paral·leles, després agafa un punt fàcil d'una recta $com fer λ=0 en la paramètrica$ i aplica la fórmula punt-recta.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Flashcards Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica

Quiz

Fichas

Ensayo

Contenidos más populares de Matemàtiques

Logaritmos y exponenciales

Matemàtiques

1° Bach

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS