Empezar

Matemáticas

Ecuaciones Lineales y Gráficas

Ecuaciones lineales de dos variables

Matemàtiques360Actualizado 15 oct 202613 páginas

Matemàtiques: Vectors i Geometria

Denunciar
user profile picture
Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe
Añadir a fuentes de Google
Els vectors són una eina fonamental per entendre la geometria i resoldre problemes de matemàtiques de forma més visual. En aquest tema aprendràs a treballar amb vectors, equacions de rectes i càlculs de distàncies al pla de manera pràctica.
Maemàtiques – página 1

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Vectors: Conceptes Bàsics i Operacions

Els vectors són segments orientats que tenen tres característiques clau: mòdul (longitud), direcció (horitzontal/vertical) i sentit (positiu/negatiu). És com una fletxa que et diu cap a on i amb quina intensitat vas.

Quan treballes amb vectors en components, utilitzes la base ortonormal amb vectors î i ĵ de mòdul 1 i perpendiculars entre ells. Per exemple, el vector (2,3) significa 2î + 3ĵ.

Les operacions amb vectors són súper directes: per sumar vectors sumes component a component, per restar restes component a component, i per multiplicar per un escalar multipliques cada component pel número. Així de simple!

Consell clau: Sempre recorda que les operacions es fan component per component - és la regla d'or dels vectors.

Maemàtiques – página 2

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Producte Escalar de Vectors

El producte escalar és una operació que et dona un número (no un vector) i té dues fórmules útils. La geomètrica: û·v̂ = |û||v̂|cos(angle) i la de components: û·v̂ = u₁v₁ + u₂v₂.

La part més útil del producte escalar és que quan dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és 0. Això et permet detectar angles rectes fàcilment!

Per calcular el mòdul d'un vector, uses la fórmula |û| = √u12+u22u₁² + u₂². I si vols trobar l'angle entre dos vectors, uses cos(angle) = (û·v̂)/(|û||v̂|) i després apliques arccos.

Truc d'examen: Si el producte escalar és 0, els vectors són perpendiculars. Si és positiu, l'angle és agut; si és negatiu, l'angle és obtús.

Maemàtiques – página 3

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Equacions de la Recta: Formes Bàsiques

Una recta al pla es pot expressar de diferents maneres segons el que necessitis. L'equació vectorial té la forma (x,y) = (a₁,a₂) + λ(v₁,v₂), on λ és un paràmetre real que et dona tots els punts de la recta.

L'equació paramètrica separa les components: x = a₁ + λv₁ i y = a₂ + λv₂. És molt útil per trobar punts concrets de la recta donant valors a λ.

L'equació contínua elimina el paràmetre: x−a1x-a₁/v₁ = y−a2y-a₂/v₂. Amb aquesta forma pots comprovar ràpidament si un punt pertany a la recta.

Estratègia: Usa la forma paramètrica per trobar punts, la contínua per verificar si un punt pertany a la recta, i la vectorial per visualitzar millor la recta.

Maemàtiques – página 4

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Recta Determinada per Dos Punts

Quan tens dos punts A i B i vols trobar l'equació de la recta que passa per ells, primer calcules el vector direcció AB = B - A. Aquest vector et marca la direcció de la recta.

Després ja pots escriure totes les formes de l'equació: vectorial, paramètrica i contínua, utilitzant qualsevol dels dos punts com a punt base i el vector AB com a vector direcció.

És important que practicar aquest procés perquè és la base per resoldre molts problemes de geometria analítica. Una vegada dominis aquest mètode, podràs passar fàcilment d'una forma d'equació a una altra.

Nota important: El vector direcció sempre es calcula com punt final menys punt inicial: AB = B - A.

Maemàtiques – página 5

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Formes d'Equació de la Recta

A més de les formes vectorial, paramètrica i contínua, tens l'equació general (implícita): Ax + By + C = 0. El vector direcció d'aquesta recta és B,−AB, -A o −B,A-B, A.

L'equació explícita és y = mx + n, on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada a l'origen (el punt on la recta talla l'eix y).

Per passar de la forma general a l'explícita, simplement aïlles la y: de Ax + By + C = 0 obtens y = −A/B-A/Bx - C/B. Això et permet veure directament el pendent i l'ordenada a l'origen.

Consell pràctic: La forma explícita y = mx + n és perfecta per representar gràficament la recta i entendre el seu comportament visual.

Maemàtiques – página 6

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Posició Relativa de Dues Rectes

Quan tens dues rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, pots determinar la seva posició comparant les ràtios dels coeficients.

Si A/A' ≠ B/B', les rectes són secants (es tallen en un punt). Pots trobar aquest punt resolent el sistema d'equacions.

Si A/A' = B/B' = C/C', són la mateixa recta. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', són paral·leles (no es tallen mai).

Metodologia d'examen: Sempre comprova primer les ràtios A/A' i B/B'. Això et dirà immediatament si són secants o no, i després mira C/C' per distingir entre coincidents i paral·leles.

Maemàtiques – página 7

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Feixos de Rectes

Un feix de rectes és un conjunt de rectes que comparteixen una propietat comuna. Hi ha dos tipus principals que has de conèixer.

El feix de rectes amb punt comú té l'equació y - y₀ = mx−x0x - x₀, on (x₀, y₀) és el punt fix i m és la variable que canvia per donar-te diferents rectes.

El feix de rectes paral·leles manté constant la direcció però canvia la posició. Totes tenen el mateix pendent però diferent ordenada a l'origen.

Aplicació útil: Els feixos són especialment útils per trobar rectes que compleixin condicions específiques, com passar per un punt determinat o ser paral·lela a una recta donada.

Maemàtiques – página 8

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Angle Entre Dues Rectes Secants

Per calcular l'angle entre dues rectes secants, utilitzes la fórmula del cosinus amb els seus vectors direcció. El resultat sempre et dona un angle menor de 90°.

Si tens les rectes en forma general Ax + By + C = 0 i A'x + B'y + C' = 0, la fórmula és: cos α = |AA' + BB'|/√A2+B2A² + B²√A2+B2A'² + B'².

Els vectors direcció d'aquestes rectes són B,−AB, -A i B′,−A′B', -A' respectivament. Recorda sempre posar el valor absolut al numerador per obtenir l'angle agut.

Detall important: Sempre uses valor absolut al numerador perquè vols l'angle més petit entre les dues rectes, no l'angle obtús.

Maemàtiques – página 9

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Distància Entre Punts i Punt-Recta

La distància entre dos punts A(a₁,a₂) i B(b₁,b₂) és simplement el mòdul del vector AB: d(A,B) = √(b1−a1)2+(b2−a2)2(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)². És el teorema de Pitàgores aplicat!

Per calcular la distància d'un punt P(a,b) a una recta Ax + By + C = 0, uses la fórmula: d(P,r) = |Aa + Bb + C|/√A2+B2A² + B².

Aquesta fórmula és súper pràctica perquè només necessites substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta i dividir pel mòdul del vector normal.

Truc de memòria: Per recordar la fórmula punt-recta, pensa que substitueixes el punt a l'equació de la recta i divideixes per la "longitud" dels coeficients A i B.

Maemàtiques – página 10

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Distància Entre Dues Rectes

La distància entre dues rectes depèn de la seva posició relativa. Si són secants o coincidents, la distància és 0. Només té sentit calcular distància entre rectes paral·leles.

Per trobar la distància entre rectes paral·leles, agafes qualsevol punt d'una recta i calcules la seva distància a l'altra recta utilitzant la fórmula punt-recta.

Els exercicis pràctics mostren com aplicar aquestes fórmules: substitueixes coordenades, operes amb valors absoluts i obtens la distància en unitats de longitud.

Estratègia de resolució: Primer verifica que les rectes siguin paral·leles, després agafa un punt fàcil d'una recta (com fer λ=0 en la paramètrica) i aplica la fórmula punt-recta.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Contenido similar

Matemáticas

Mates

🧮

2° ESO1672
Matemáticas

Intervalos

Explicación sobre los intervalos y sus tipos

4° ESO92418
Matemáticas

Intervalos y semirrectas

Un esquema de como representar intervalos y semirrectas

4° ESO3624
Matemáticas

Control

Resolución de ejercicios de intervalos y representación gráfica de conjuntos de números reales.

1° Bach111721
Matemáticas

Unidad 1: Números reales 1°Bach

Conjunto de apuntes y ejercicios corregidos.

1° Bach2476
Matemáticas

Intervalos y semirectas .

Explicación de los intervalos y semirectas de matemáticas incluyendo cómo hacer los ejercicios con varios ejemplos

1° ESO3327
Ver más

Contenidos más populares: Matemàtiques

Matemàtiques

EXÀMEN NOMBRES REALS

És un exàmen de matemàtiques sobre els nombres reals amb exercicis i problemes.

3° ESO1005

Contenidos más populares

Otros

Carnet Conducir

Apuntes permiso de conducir tipo B

2° Bach10.291249
Inglés

Tiempos verbales en inglés

Están los tiempos verbales desde el presente, el pasado y el futuro

2° Bach4355108
Filosofía

Platón

Platón (biografía,teoría de las ideas y teoría del conocimiento, antropología y política)

2° Bach6344145
Inglés

Inglés temario entero

Contiene: tiempos verbales, condicionales, time clauses, wish clauses, pasiva, causativa, relative clauses, modals & modals perfects y reported speech.

4° ESO2713106
Filosofía

TEMA 1: LA FILOSOFÍA DE PLATÓN

TEMA 1: LA FILOSOFÍA DE PLATÓN 1. Biografía 2. La teoría de las ideas 3. Conocimiento y realidad 4. Ser humano 5. Ética 6. Sociedad y política

2° Bach13.654526
Química

Formulación inorgánica 1-2 Bachillerato

Apuntes para Química y PAU

1° Bach4718137
Otros

Apuntes examen teórico de coche

Os dejo por aquí apuntes hechos por mi de lo imprescindible para obtener el apto en el examen teórico del permiso b.

PAU (2° Bach)8840219
Tips de estudio

Apuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO

sacate el teorico con estos apuntes!!!

2° Bach5955160
Otros

Apuntes Teorico Permiso B

Examen Teorico del Coche

2° Bach6372130

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Pablousuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Elenausuaria de Android

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Anausuaria de iOS

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.