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10 ene 2026
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Els nombres reals són la base de totes les matemàtiques... Mostrar más
Els nombres reals (ℝ) es divideixen en dues grans famílies: racionals i irracionals. Els racionals (ℚ) inclouen els naturals, enters i tots els decimals exactes o periòdics. Els irracionals són els decimals infinits no periòdics, com π o √2.
El valor absolut |x| sempre et dona un resultat positiu o zero. Si x és positiu, |x| = x. Si x és negatiu, |x| = -x (que és positiu). Per exemple, |5| = 5 i |-5| = 5.
La propietat més important és |x + y| ≤ |x| + |y|. Aquesta desigualtat triangular t'ajudarà molt en càlculs posteriors.
Consell: Quan treballis amb valor absolut, sempre pensa primer si el que hi ha dins és positiu o negatiu abans de calcular.
Els intervals són conjunts de nombres reals entre dos valors. Hi ha intervals oberts com (a,b), tancats com i semioberts com (a,b] o [a,b). Els parèntesis exclouen el punt, els claudàtors l'inclouen.
Les semirectes s'estenen cap a l'infinit: significa tots els nombres majors que a. Recorda que l'infinit sempre va amb parèntesi, mai amb claudàtor.
La unió (∪) agrupa intervals, mentre que la intersecció (∩) troba la part comuna. Per exemple, (1,3) ∩ (2,4) = (2,3). Un entorn Er(a) és un interval obert centrat en un punt a amb radi r.
Truc: Dibuixa els intervals en una recta numèrica quan tinguis dubtes sobre unions i interseccions.
Les potències són multiplicacions repetides: a^n significa multiplicar a per si mateix n vegades. Les propietats fonamentals que has de memoritzar són: a^0 = 1, a^n · a^m = a^, i a^n : a^m = a^.
Quan l'exponent és negatiu, a^ = 1/a^n. Això és súper útil per simplificar expressions complexes. Per exemple, 2^(-3) = 1/8.
Les potències de productes i quocients també tenen regles: (a·b)^n = a^n · b^n i ^n = a^n / b^n. Aquestes propietats et permeten descompondre càlculs difícils en parts més simples.
Important: Fixa't bé en els parèntesis! (-2)^4 = 16, però -2^4 = -16.
Un radical √{x} és l'operació inversa d'una potència. Si √{x} = y, aleshores y^n = x. Pots expressar qualsevol radical com una potència: √{x^m} = x^.
Per multiplicar radicals del mateix índex: √a · √b = √(a·b). Per dividir: √a / √b = √. Però per sumar o restar, primer has d'extreure factors del radical.
L'extracció de factors és clau: √8 = √(4·2) = 2√2. Això et permet operar: √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2. Si no pots extreure factors comuns, no pots sumar els radicals.
Estratègia: Sempre busca quadrats perfectes (o cubes si és arrel cúbica) dins del radical per extreure factors.
Racionalitzar significa eliminar radicals del denominador d'una fracció. Hi ha tres casos principals que has de dominar per resoldre exercicis d'examen.
Cas 1: Arrel quadrada al denominador. Multiplica numerador i denominador per la mateixa arrel: 3/√2 = 3√2/2.
Cas 2: Arrel d'índex ≥3. Multiplica per la potència que falta: 2/∛3 = 2∛9/3. Cas 3: Suma/resta d'arrels. Usa el conjugat: 5/(√2+√3) = 5(√2-√3)/(2-3) = -5(√2-√3).
Clau: El conjugat de a+b és a-b, i el seu producte elimina les arrels: (√2+√3)(√2-√3) = 2-3 = -1.
Només els nombres racionals es poden expressar com a fracció. Hi ha tres tipus: decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos.
Decimals exactes: 0,57 = 57/100. Comptes les xifres decimals per saber les potències de 10. Periòdics purs: 3,575757... = (357-3)/99. Restes la part no periòdica i divideixes per tants 9 com xifres té el període.
Periòdics mixtos: 5,1232323... = (5123-51)/990. És més complex perquè combines 9 (pel període) i 0 (per la part no periòdica).
Record: Els nombres irracionals com π o √2 no es poden expressar exactament com a fracció.
Una successió és una llista infinita de nombres que segueixen un patró. Cada nombre té una posició: a₁, a₂, a₃... El terme general a_n et dona una fórmula per calcular qualsevol terme.
Exemples bàsics: 2, 4, 6, 8... té terme general a_n = 2n. La successió 1, 4, 9, 16... són quadrats perfectes: a_n = n². Algunes successions, com la de Fibonacci, es defineixen recursivament: cada terme és la suma dels dos anteriors.
Les successions poden ser creixents (cada terme és més gran), decreixents, fitades o oscillants com 1, -1, 1, -1...
Pista: Per trobar el terme general, busca patrons en les diferències entre termes consecutius.
El límit d'una successió és el valor al qual s'apropen els termes quan n tendeix a infinit. Si existeix límit finit, la successió és convergent. Si no, és divergent.
Exemple clàssic: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... amb a_n = 1/2ⁿ. Quan n creix, 1/2ⁿ s'apropa a 0, per tant el límit és 0.
Les successions constants tenen límit igual al valor constant. Les successions que creixen indefinidament no tenen límit finit.
Intuïció: Imagina't càlcular els primers 100, 1000, 10000 termes. Cap a quin valor semblen dirigir-se?
Els logaritmes són l'operació inversa de les potències. log_a(y) = x significa que a^x = y. És com preguntar: "a quina potència he d'elevar a per obtenir y?"
Exemples bàsics: log₁₀(100) = 2 perquè 10² = 100. log₂(8) = 3 perquè 2³ = 8. Els logaritmes de fraccions donen resultats negatius: log₂(1/4) = -2.
Els logaritmes decimals (base 10) s'escriuen simplement log x. Quan veus log x = 3, significa x = 10³ = 1000. Si log_x(16) = 4, aleshores x⁴ = 16, per tant x = 2.
Estratègia: Converteix sempre el logaritme a la forma exponencial equivalent per resoldre'l més fàcilment.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Els nombres reals són la base de totes les matemàtiques que estudiàs a batxillerat. Aquest tema cobreix des de la classificació dels nombres fins a conceptes més avançats com logaritmes i successions, tot connectat de manera lògica.
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Els nombres reals (ℝ) es divideixen en dues grans famílies: racionals i irracionals. Els racionals (ℚ) inclouen els naturals, enters i tots els decimals exactes o periòdics. Els irracionals són els decimals infinits no periòdics, com π o √2.
El valor absolut |x| sempre et dona un resultat positiu o zero. Si x és positiu, |x| = x. Si x és negatiu, |x| = -x (que és positiu). Per exemple, |5| = 5 i |-5| = 5.
La propietat més important és |x + y| ≤ |x| + |y|. Aquesta desigualtat triangular t'ajudarà molt en càlculs posteriors.
Consell: Quan treballis amb valor absolut, sempre pensa primer si el que hi ha dins és positiu o negatiu abans de calcular.
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Quan l'exponent és negatiu, a^ = 1/a^n. Això és súper útil per simplificar expressions complexes. Per exemple, 2^(-3) = 1/8.
Les potències de productes i quocients també tenen regles: (a·b)^n = a^n · b^n i ^n = a^n / b^n. Aquestes propietats et permeten descompondre càlculs difícils en parts més simples.
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Un radical √{x} és l'operació inversa d'una potència. Si √{x} = y, aleshores y^n = x. Pots expressar qualsevol radical com una potència: √{x^m} = x^.
Per multiplicar radicals del mateix índex: √a · √b = √(a·b). Per dividir: √a / √b = √. Però per sumar o restar, primer has d'extreure factors del radical.
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Cas 2: Arrel d'índex ≥3. Multiplica per la potència que falta: 2/∛3 = 2∛9/3. Cas 3: Suma/resta d'arrels. Usa el conjugat: 5/(√2+√3) = 5(√2-√3)/(2-3) = -5(√2-√3).
Clau: El conjugat de a+b és a-b, i el seu producte elimina les arrels: (√2+√3)(√2-√3) = 2-3 = -1.
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Periòdics mixtos: 5,1232323... = (5123-51)/990. És més complex perquè combines 9 (pel període) i 0 (per la part no periòdica).
Record: Els nombres irracionals com π o √2 no es poden expressar exactament com a fracció.
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Les successions poden ser creixents (cada terme és més gran), decreixents, fitades o oscillants com 1, -1, 1, -1...
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El límit d'una successió és el valor al qual s'apropen els termes quan n tendeix a infinit. Si existeix límit finit, la successió és convergent. Si no, és divergent.
Exemple clàssic: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... amb a_n = 1/2ⁿ. Quan n creix, 1/2ⁿ s'apropa a 0, per tant el límit és 0.
Les successions constants tenen límit igual al valor constant. Les successions que creixen indefinidament no tenen límit finit.
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Exemples bàsics: log₁₀(100) = 2 perquè 10² = 100. log₂(8) = 3 perquè 2³ = 8. Els logaritmes de fraccions donen resultats negatius: log₂(1/4) = -2.
Els logaritmes decimals (base 10) s'escriuen simplement log x. Quan veus log x = 3, significa x = 10³ = 1000. Si log_x(16) = 4, aleshores x⁴ = 16, per tant x = 2.
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Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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