Matemáticas

Clasificación de los Números Reales

Números Reales

Matemàtiques244Actualizado 13 sept 202611 páginas

Matemàtiques: Explorant els Nombres Reals

Denunciar

Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

Añadir a fuentes de Google

Els nombres reals són la base de totes les matemàtiques que estudiàs a batxillerat. Aquest tema cobreix des de la classificació dels nombres fins a conceptes més avançats com logaritmes i successions, tot connectat de manera lògica.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Classificació de nombres reals i valor absolut

Els nombres reals (ℝ) es divideixen en dues grans famílies: racionals i irracionals. Els racionals (ℚ) inclouen els naturals, enters i tots els decimals exactes o periòdics. Els irracionals són els decimals infinits no periòdics, com π o √2.

El valor absolut |x| sempre et dona un resultat positiu o zero. Si x és positiu, |x| = x. Si x és negatiu, |x| = -x (que és positiu). Per exemple, |5| = 5 i |-5| = 5.

La propietat més important és |x + y| ≤ |x| + |y|. Aquesta desigualtat triangular t'ajudarà molt en càlculs posteriors.

Consell: Quan treballis amb valor absolut, sempre pensa primer si el que hi ha dins és positiu o negatiu abans de calcular.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Intervals i entorns

Els intervals són conjunts de nombres reals entre dos valors. Hi ha intervals oberts com (a,b), tancats com [a,b] i semioberts com (a,b] o [a,b). Els parèntesis exclouen el punt, els claudàtors l'inclouen.

Les semirectes s'estenen cap a l'infinit: $a,+∞$ significa tots els nombres majors que a. Recorda que l'infinit sempre va amb parèntesi, mai amb claudàtor.

La unió (∪) agrupa intervals, mentre que la intersecció (∩) troba la part comuna. Per exemple, (1,3) ∩ (2,4) = (2,3). Un entorn Er $a$ és un interval obert centrat en un punt a amb radi r.

Truc: Dibuixa els intervals en una recta numèrica quan tinguis dubtes sobre unions i interseccions.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Potències i les seves propietats

Les potències són multiplicacions repetides: a^n significa multiplicar a per si mateix n vegades. Les propietats fonamentals que has de memoritzar són: a^0 = 1, a^n · a^m = a^ $n+m$ , i a^n : a^m = a^ $n-m$ .

Quan l'exponent és negatiu, a^ $-n$ = 1/a^n. Això és súper útil per simplificar expressions complexes. Per exemple, 2^ $-3$ = 1/8.

Les potències de productes i quocients també tenen regles: (a·b)^n = a^n · b^n i (a/b)^n = a^n / b^n. Aquestes propietats et permeten descompondre càlculs difícils en parts més simples.

Important: Fixa't bé en els parèntesis! $-2$ ^4 = 16, però -2^4 = -16.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Radicals i operacions

Un radical √[n]{x} és l'operació inversa d'una potència. Si √[n]{x} = y, aleshores y^n = x. Pots expressar qualsevol radical com una potència: √[n]{x^m} = x^(m/n).

Per multiplicar radicals del mateix índex: √a · √b = √(a·b). Per dividir: √a / √b = √(a/b). Però per sumar o restar, primer has d'extreure factors del radical.

L'extracció de factors és clau: √8 = √(4·2) = 2√2. Això et permet operar: √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2. Si no pots extreure factors comuns, no pots sumar els radicals.

Estratègia: Sempre busca quadrats perfectes (o cubes si és arrel cúbica) dins del radical per extreure factors.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Racionalització del denominador

Racionalitzar significa eliminar radicals del denominador d'una fracció. Hi ha tres casos principals que has de dominar per resoldre exercicis d'examen.

Cas 1: Arrel quadrada al denominador. Multiplica numerador i denominador per la mateixa arrel: 3/√2 = 3√2/2.

Cas 2: Arrel d'índex ≥3. Multiplica per la potència que falta: 2/∛3 = 2∛9/3. Cas 3: Suma/resta d'arrels. Usa el conjugat: 5/ $√2+√3$ = 5 $√2-√3$ / $2-3$ = -5 $√2-√3$ .

Clau: El conjugat de a+b és a-b, i el seu producte elimina les arrels: $\sqrt2+\sqrt3$$\sqrt2-\sqrt3$ = 2-3 = -1.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Conversió de decimals a fraccions

Només els nombres racionals es poden expressar com a fracció. Hi ha tres tipus: decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos.

Decimals exactes: 0,57 = 57/100. Comptes les xifres decimals per saber les potències de 10. Periòdics purs: 3,575757... = $357-3$ /99. Restes la part no periòdica i divideixes per tants 9 com xifres té el període.

Periòdics mixtos: 5,1232323... = $5123-51$ /990. És més complex perquè combines 9 (pel període) i 0 (per la part no periòdica).

Record: Els nombres irracionals com π o √2 no es poden expressar exactament com a fracció.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Successions de nombres reals

Una successió és una llista infinita de nombres que segueixen un patró. Cada nombre té una posició: a₁, a₂, a₃... El terme general a_n et dona una fórmula per calcular qualsevol terme.

Exemples bàsics: 2, 4, 6, 8... té terme general a_n = 2n. La successió 1, 4, 9, 16... són quadrats perfectes: a_n = n². Algunes successions, com la de Fibonacci, es defineixen recursivament: cada terme és la suma dels dos anteriors.

Les successions poden ser creixents (cada terme és més gran), decreixents, fitades (tenen límit superior/inferior) o oscillants com 1, -1, 1, -1...

Pista: Per trobar el terme general, busca patrons en les diferències entre termes consecutius.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Límits i convergència

El límit d'una successió és el valor al qual s'apropen els termes quan n tendeix a infinit. Si existeix límit finit, la successió és convergent. Si no, és divergent.

Exemple clàssic: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... amb a_n = 1/2ⁿ. Quan n creix, 1/2ⁿ s'apropa a 0, per tant el límit és 0.

Les successions constants tenen límit igual al valor constant. Les successions que creixen indefinidament $com a_n = n$ no tenen límit finit.

Intuïció: Imagina't càlcular els primers 100, 1000, 10000 termes. Cap a quin valor semblen dirigir-se?

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Logaritmes: la funció inversa

Els logaritmes són l'operació inversa de les potències. log_a $y$ = x significa que a^x = y. És com preguntar: "a quina potència he d'elevar a per obtenir y?"

Exemples bàsics: log₁₀(100) = 2 perquè 10² = 100. log₂(8) = 3 perquè 2³ = 8. Els logaritmes de fraccions donen resultats negatius: log₂ $1/4$ = -2.

Els logaritmes decimals (base 10) s'escriuen simplement log x. Quan veus log x = 3, significa x = 10³ = 1000. Si log_x(16) = 4, aleshores x⁴ = 16, per tant x = 2.

Estratègia: Converteix sempre el logaritme a la forma exponencial equivalent per resoldre'l més fàcilment.

Inscríbete para ver los apuntes.
¡Es gratis!

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Matemàtiques: Explorant els Nombres Reals

Classificació de nombres reals i valor absolut

Intervals i entorns

Potències i les seves propietats

Radicals i operacions

Racionalització del denominador

Conversió de decimals a fraccions

Successions de nombres reals

Límits i convergència

Logaritmes: la funció inversa

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Contenido similar

numeros reales

Números reales

LOS TIPOS DE NÚMEROS

TEMA 1 : números racionales e irracionales

NÚMEROS REALES

Números reales

Contenidos más populares: Números Reales

Tipos de números reales

Numeros reales

LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1: NUMEROS REALES

Resumen Numeros Reales 1 bachillerato

TEMA 1 : números racionales e irracionales

Número real: reales, racionales, irracionales, enteros y naturales

Números reales

NÚMEROS REALES

Contenidos más populares

Carnet Conducir

Apuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO

Apuntes examen teórico de coche

Apuntes Teorico Permiso B

Formulación inorgánica 1-2 Bachillerato

Tiempos verbales en inglés

Resumen completo carnet de conducir B – Esquemas y teoría explicada (40 pág)

Formulación compuestos inorgánicos

Platón

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.