Matemáticas

Clasificación de los Números Reales

Números Reales

Matemàtiques235 visualizaciones·Actualizado May 12, 2026·11 páginas

Matemàtiques: Explorant els Nombres Reals

Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

Els nombres reals són la base de totes les matemàtiques... Mostrar más

1 / 10

of 10

# 1. classigicació de nombres reals

Enters
(2)
Naturals
Zero: O
(N) (H

Racionals
(Q)
Enters negatius.

degimas puta pm 30
Racionals
Reals

Classificació de nombres reals i valor absolut

Els nombres reals (ℝ) es divideixen en dues grans famílies: racionals i irracionals. Els racionals (ℚ) inclouen els naturals, enters i tots els decimals exactes o periòdics. Els irracionals són els decimals infinits no periòdics, com π o √2.

El valor absolut |x| sempre et dona un resultat positiu o zero. Si x és positiu, |x| = x. Si x és negatiu, |x| = -x (que és positiu). Per exemple, |5| = 5 i |-5| = 5.

La propietat més important és |x + y| ≤ |x| + |y|. Aquesta desigualtat triangular t'ajudarà molt en càlculs posteriors.

Consell: Quan treballis amb valor absolut, sempre pensa primer si el que hi ha dins és positiu o negatiu abans de calcular.

of 10

Intervals i entorns

Els intervals són conjunts de nombres reals entre dos valors. Hi ha intervals oberts com (a,b), tancats com [a,b] i semioberts com (a,b] o [a,b). Els parèntesis exclouen el punt, els claudàtors l'inclouen.

Les semirectes s'estenen cap a l'infinit: $a,+∞$ significa tots els nombres majors que a. Recorda que l'infinit sempre va amb parèntesi, mai amb claudàtor.

La unió (∪) agrupa intervals, mentre que la intersecció (∩) troba la part comuna. Per exemple, (1,3) ∩ (2,4) = (2,3). Un entorn Er(a) és un interval obert centrat en un punt a amb radi r.

Truc: Dibuixa els intervals en una recta numèrica quan tinguis dubtes sobre unions i interseccions.

of 10

Potències i les seves propietats

Les potències són multiplicacions repetides: a^n significa multiplicar a per si mateix n vegades. Les propietats fonamentals que has de memoritzar són: a^0 = 1, a^n · a^m = a^ $n+m$ , i a^n : a^m = a^ $n-m$ .

Quan l'exponent és negatiu, a^ $-n$ = 1/a^n. Això és súper útil per simplificar expressions complexes. Per exemple, 2^(-3) = 1/8.

Les potències de productes i quocients també tenen regles: (a·b)^n = a^n · b^n i $a/b$ ^n = a^n / b^n. Aquestes propietats et permeten descompondre càlculs difícils en parts més simples.

Important: Fixa't bé en els parèntesis! (-2)^4 = 16, però -2^4 = -16.

of 10

Radicals i operacions

Un radical √[n]{x} és l'operació inversa d'una potència. Si √[n]{x} = y, aleshores y^n = x. Pots expressar qualsevol radical com una potència: √[n]{x^m} = x^ $m/n$ .

Per multiplicar radicals del mateix índex: √a · √b = √(a·b). Per dividir: √a / √b = √ $a/b$ . Però per sumar o restar, primer has d'extreure factors del radical.

L'extracció de factors és clau: √8 = √(4·2) = 2√2. Això et permet operar: √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2. Si no pots extreure factors comuns, no pots sumar els radicals.

Estratègia: Sempre busca quadrats perfectes (o cubes si és arrel cúbica) dins del radical per extreure factors.

of 10

Racionalització del denominador

Racionalitzar significa eliminar radicals del denominador d'una fracció. Hi ha tres casos principals que has de dominar per resoldre exercicis d'examen.

Cas 1: Arrel quadrada al denominador. Multiplica numerador i denominador per la mateixa arrel: 3/√2 = 3√2/2.

Cas 2: Arrel d'índex ≥3. Multiplica per la potència que falta: 2/∛3 = 2∛9/3. Cas 3: Suma/resta d'arrels. Usa el conjugat: 5/(√2+√3) = 5(√2-√3)/(2-3) = -5(√2-√3).

Clau: El conjugat de a+b és a-b, i el seu producte elimina les arrels: (√2+√3)(√2-√3) = 2-3 = -1.

of 10

Conversió de decimals a fraccions

Només els nombres racionals es poden expressar com a fracció. Hi ha tres tipus: decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos.

Decimals exactes: 0,57 = 57/100. Comptes les xifres decimals per saber les potències de 10. Periòdics purs: 3,575757... = (357-3)/99. Restes la part no periòdica i divideixes per tants 9 com xifres té el període.

Periòdics mixtos: 5,1232323... = (5123-51)/990. És més complex perquè combines 9 (pel període) i 0 (per la part no periòdica).

Record: Els nombres irracionals com π o √2 no es poden expressar exactament com a fracció.

of 10

Successions de nombres reals

Una successió és una llista infinita de nombres que segueixen un patró. Cada nombre té una posició: a₁, a₂, a₃... El terme general a_n et dona una fórmula per calcular qualsevol terme.

Exemples bàsics: 2, 4, 6, 8... té terme general a_n = 2n. La successió 1, 4, 9, 16... són quadrats perfectes: a_n = n². Algunes successions, com la de Fibonacci, es defineixen recursivament: cada terme és la suma dels dos anteriors.

Les successions poden ser creixents (cada terme és més gran), decreixents, fitades $tenen límit superior/inferior$ o oscillants com 1, -1, 1, -1...

Pista: Per trobar el terme general, busca patrons en les diferències entre termes consecutius.

of 10

Límits i convergència

El límit d'una successió és el valor al qual s'apropen els termes quan n tendeix a infinit. Si existeix límit finit, la successió és convergent. Si no, és divergent.

Exemple clàssic: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... amb a_n = 1/2ⁿ. Quan n creix, 1/2ⁿ s'apropa a 0, per tant el límit és 0.

Les successions constants tenen límit igual al valor constant. Les successions que creixen indefinidament $com a_n = n$ no tenen límit finit.

Intuïció: Imagina't càlcular els primers 100, 1000, 10000 termes. Cap a quin valor semblen dirigir-se?

of 10

Logaritmes: la funció inversa

Els logaritmes són l'operació inversa de les potències. log_a(y) = x significa que a^x = y. És com preguntar: "a quina potència he d'elevar a per obtenir y?"

Exemples bàsics: log₁₀(100) = 2 perquè 10² = 100. log₂(8) = 3 perquè 2³ = 8. Els logaritmes de fraccions donen resultats negatius: log₂(1/4) = -2.

Els logaritmes decimals (base 10) s'escriuen simplement log x. Quan veus log x = 3, significa x = 10³ = 1000. Si log_x(16) = 4, aleshores x⁴ = 16, per tant x = 2.

Estratègia: Converteix sempre el logaritme a la forma exponencial equivalent per resoldre'l més fàcilment.

of 10

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Contenidos más populares: Números Reales

Matemáticas

Numeros reales

Numeros reales,intersecciones..

4° ESO3518

Matemáticas

Tipos de números reales

Una breve explicación de los diferentes tipos de números reales, incluyendo naturales, enteros, racionales, irracionales y decimales.

3° ESO2,61676

Matemáticas

TEMA 1 : números racionales e irracionales

Resumen de operaciones matemáticas como fracciones, potencias, raíces, intervalos y aproximaciones en números reales.

3° ESO1,56587

Matemáticas

LOS NÚMEROS REALES

Matemáticas de 1 bachillerato

1° Bach7,152293

Matemáticas

Clasificación de números

Clasificación de números: Reales, racionales, irracionales... y unidades,decenas centenas...

2° ESO1673

Matemáticas

TEMA 1: NUMEROS REALES

apuntes para los números reales y sus contenidos

4° ESO3,589345

Matemáticas

Números reales

Apuntes tema 1 números reales

4° ESO31214

Matemáticas

Resumen Numeros Reales 1 bachillerato

Resumen Numeros Reales 1 bachillerato mates

1° Bach2,69555

Matemáticas

Números reales

4º ESO Matemáticas matematicas

4° ESO60214

Contenidos más populares de Matemàtiques

Matemàtiques

APUNTS MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

TEMA 1: SISTEMES D’EQUACIONS. MÈTODE DE GÄUS TEMA 2: ÀLGEBRA DE MATRIUS TEMA 3: EQUACIONS LINEALS TEMA 4: PROBLEMES (AMB VARIABLES DISCRETES) TEMA 5: LÍMITS DE FUNCIONS I CONTINUÏTAT TEMA 6: INTEGRALS TEMA 7: PROBABILITAT TEMA 8: DISTRIBUCIÓ NORMAL

PAU (2° Bach)2889

Matemàtiques

Maemàtiques

Vectors i geometria

1° Bach34726

Matemàtiques

Logaritmos y exponenciales

4° ESO2012

Matemàtiques

Maemàtiques

Equacions i inequacions

1° Bach28734

Matemàtiques

Límits de funcions i continuïtat

Matemàtiques del científic

2° Bach1813

Matemàtiques

Matemàtiques Matrius

Contingut necessari per fer problemes de matrius per selectivitat

2° Bach2027

Matemàtiques

Nombres racionals

Explicació sobre nombres racionals i tot el que s'ha de saber

4° ESO6207

Contenidos más populares

Geografía e Historia

Mesopotamia y Egipto

Contenidos sobre la civilización mesopotámica y egipcia

1° ESO3,6241

Inglés

irregular verbs quiz

Domina el idioma inglés de manera sencilla y divertida con estos flashcards diseñados especialmente para estudiantes de sexto grado.

6º primaria2,4521

Lengua Castellana y Literatura

Apuntes sintaxis

apuntes de sintaxis lengua 1 de bachillerato

4° ESO42,0253,970

Tips de estudio

QUIZZ VIDA DIARIA#1

QUIZZ sobre tu vida diaria, psicológico para mejorar el estudio.:] [ Cualquier pregunta, la responderé ]^^

1° ESO3,0160

Geografía e Historia

Grecia: Inicio de la democracia

Más o menos las preguntas que me pusieron a mí en el examen

1° ESO1,9882

Tips de estudio

Apuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO

sacate el teorico con estos apuntes!!!

2° Bach2,99798

Geografía e Historia

roma

a estudiar Roma!!

1° ESO1,6982

Inglés

Dominando la gramática inglesa: Flashcards desafiantes

Mejora tus habilidades gramaticales en inglés con estos flashcards desafiantes diseñados para estudiantes de grado 11. ¡Prepárate para dominar la gramática inglesa de manera divertida y efectiva!

3° ESO1,7780

Inglés

Irregular verbs

Aprende nuevas palabras y expande tu vocabulario en inglés con esta colección de tarjetas de estudio interactivas.

3° ESO1,4532

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.6/5App Store

4.7/5Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elenausuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Anausuaria de iOS

Matemáticas

Clasificación de los Números Reales

Números Reales

Matemàtiques235 visualizaciones·Actualizado May 12, 2026·11 páginas

Matemàtiques: Explorant els Nombres Reals

Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

Els nombres reals són la base de totes les matemàtiques que estudiàs a batxillerat. Aquest tema cobreix des de la classificació dels nombres fins a conceptes més avançats com logaritmes i successions, tot connectat de manera lògica.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Classificació de nombres reals i valor absolut

El valor absolut |x| sempre et dona un resultat positiu o zero. Si x és positiu, |x| = x. Si x és negatiu, |x| = -x (que és positiu). Per exemple, |5| = 5 i |-5| = 5.

La propietat més important és |x + y| ≤ |x| + |y|. Aquesta desigualtat triangular t'ajudarà molt en càlculs posteriors.

Consell: Quan treballis amb valor absolut, sempre pensa primer si el que hi ha dins és positiu o negatiu abans de calcular.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Intervals i entorns

Les semirectes s'estenen cap a l'infinit: $a,+∞$ significa tots els nombres majors que a. Recorda que l'infinit sempre va amb parèntesi, mai amb claudàtor.

Truc: Dibuixa els intervals en una recta numèrica quan tinguis dubtes sobre unions i interseccions.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Potències i les seves propietats

Quan l'exponent és negatiu, a^ $-n$ = 1/a^n. Això és súper útil per simplificar expressions complexes. Per exemple, 2^(-3) = 1/8.

Les potències de productes i quocients també tenen regles: (a·b)^n = a^n · b^n i $a/b$ ^n = a^n / b^n. Aquestes propietats et permeten descompondre càlculs difícils en parts més simples.

Important: Fixa't bé en els parèntesis! (-2)^4 = 16, però -2^4 = -16.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Radicals i operacions

Un radical √[n]{x} és l'operació inversa d'una potència. Si √[n]{x} = y, aleshores y^n = x. Pots expressar qualsevol radical com una potència: √[n]{x^m} = x^ $m/n$ .

Per multiplicar radicals del mateix índex: √a · √b = √(a·b). Per dividir: √a / √b = √ $a/b$ . Però per sumar o restar, primer has d'extreure factors del radical.

L'extracció de factors és clau: √8 = √(4·2) = 2√2. Això et permet operar: √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2. Si no pots extreure factors comuns, no pots sumar els radicals.

Estratègia: Sempre busca quadrats perfectes (o cubes si és arrel cúbica) dins del radical per extreure factors.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Racionalització del denominador

Racionalitzar significa eliminar radicals del denominador d'una fracció. Hi ha tres casos principals que has de dominar per resoldre exercicis d'examen.

Cas 1: Arrel quadrada al denominador. Multiplica numerador i denominador per la mateixa arrel: 3/√2 = 3√2/2.

Cas 2: Arrel d'índex ≥3. Multiplica per la potència que falta: 2/∛3 = 2∛9/3. Cas 3: Suma/resta d'arrels. Usa el conjugat: 5/(√2+√3) = 5(√2-√3)/(2-3) = -5(√2-√3).

Clau: El conjugat de a+b és a-b, i el seu producte elimina les arrels: (√2+√3)(√2-√3) = 2-3 = -1.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Conversió de decimals a fraccions

Només els nombres racionals es poden expressar com a fracció. Hi ha tres tipus: decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtos.

Periòdics mixtos: 5,1232323... = (5123-51)/990. És més complex perquè combines 9 (pel període) i 0 (per la part no periòdica).

Record: Els nombres irracionals com π o √2 no es poden expressar exactament com a fracció.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Successions de nombres reals

Les successions poden ser creixents (cada terme és més gran), decreixents, fitades $tenen límit superior/inferior$ o oscillants com 1, -1, 1, -1...

Pista: Per trobar el terme general, busca patrons en les diferències entre termes consecutius.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Límits i convergència

El límit d'una successió és el valor al qual s'apropen els termes quan n tendeix a infinit. Si existeix límit finit, la successió és convergent. Si no, és divergent.

Exemple clàssic: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... amb a_n = 1/2ⁿ. Quan n creix, 1/2ⁿ s'apropa a 0, per tant el límit és 0.

Les successions constants tenen límit igual al valor constant. Les successions que creixen indefinidament $com a_n = n$ no tenen límit finit.

Intuïció: Imagina't càlcular els primers 100, 1000, 10000 termes. Cap a quin valor semblen dirigir-se?

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Logaritmes: la funció inversa

Els logaritmes són l'operació inversa de les potències. log_a(y) = x significa que a^x = y. És com preguntar: "a quina potència he d'elevar a per obtenir y?"

Exemples bàsics: log₁₀(100) = 2 perquè 10² = 100. log₂(8) = 3 perquè 2³ = 8. Els logaritmes de fraccions donen resultats negatius: log₂(1/4) = -2.

Els logaritmes decimals (base 10) s'escriuen simplement log x. Quan veus log x = 3, significa x = 10³ = 1000. Si log_x(16) = 4, aleshores x⁴ = 16, per tant x = 2.

Estratègia: Converteix sempre el logaritme a la forma exponencial equivalent per resoldre'l més fàcilment.

of 10

Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.