Domini de funcions i operacions bàsiques

El domini d'una funció és el conjunt de valors de x per als quals la funció existeix. És com saber quins números pots "posar" dins la funció sense trencar-la.

Per a funcions polinòmiques, el domini sempre és tots els nombres reals (ℝ). Són les més senzilles! Per a funcions racionals com f(x) = 1/$x²-1$, has d'excloure els valors que fan zero el denominador. En aquest cas, x ≠ ±1.

Amb les arrels pars necessites que el que hi ha dins sigui positiu o zero. Les arrels impars accepten qualsevol valor. Els logaritmes només funcionen amb números positius.

Consell: Sempre comprova primer el domini abans de calcular límits. T'estalviarà molts errors!

Quan calcules límits, primer intenta substituir directament el valor. Si funciona, ja tens la resposta. Si obtens formes com 0/0 o k/0, necessitaràs tècniques especials com els límits laterals o la regla de Ruffini.

Funcions definides a trossos

Les funcions definides a trossos són com un menú: segons el valor de x, uses una "recepta" diferent. Cada tros té la seva pròpia expressió matemàtica.

Per exemple, una funció pot ser x² quan x < -2, $x+6$/$x²-x$ quan -1 < x < 2, i 3x-2 quan x ≥ 2. És important fixar-se bé en els símbols de desigualtat per saber quin tros aplicar.

Aquestes funcions són especialment útils per modelar situacions reals on el comportament canvia segons les condicions. Pensa en tarifes telefòniques o impostos progressius.

Truc: Quan treballis amb funcions a trossos, dibuixa sempre un esquema per visualitzar millor els intervals!

Tipus de discontinuïtats

La continuïtat d'una funció significa que pots dibuixar-la sense aixecar el llapis del paper. Quan això no es pot fer, tenim discontinuïtats.

Hi ha dos tipus principals de discontinuïtats que has de conèixer. La discontinuïtat asimptòtica passa quan la funció "s'escapa" cap a l'infinit, com amb f(x) = 1/x en x = 0.

La discontinuïtat de salt finit és quan hi ha un "salt" entre dos valors finits de la funció. És com si haguessis de saltar d'un punt a un altre per continuar dibuixant.

Important: Identifica sempre el tipus de discontinuïtat abans d'intentar "arreglar-la" o calcular límits laterals!

Continuïtat segons tipus de funció i composició

Diferents tipus de funcions tenen patrons de continuïtat molt predictibles. Els polinomis són sempre continus a tots els reals - són les més "amigables"!

Les funcions racionals són continues excepte on el denominador val zero. Les arrels són continues al seu domini, i les exponencials sempre són continues. Els logaritmes poden tenir discontinuïtats asimptòtiques.

La composició de funcions (g∘f)(x) = g(f(x)) és com posar una funció dins d'una altra. Per exemple, si f(x) = -x² i g(x) = eˣ, llavors (g∘f)(x) = e^$-x²$.

Estratègia: Per comprovar la continuïtat d'una composició, assegura't primer que cada funció individual sigui contínua al seu domini!