Matemáticas

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Actualizado Mar 26, 2026

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Integrals: Aprèn Matemàtiques Fàcilment

Ana

@ana_fxka

Les integrals són una eina fonamental del càlcul que t'ajudarà... Mostrar más

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$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Integrals Primitives Immediates

Aquestes són les fórmules bàsiques que has de memoritzar per resoldre integrals ràpidament. Són com el teu kit d'eines matemàtiques!

La primera fórmula ∫(f(x))^r · f'(x) dx = (f(x))^ $r+1$ / $r+1$ + C és especialment útil quan tens una funció elevada a una potència multiplicada per la seva derivada. Per exemple, si veus x² · 2x, ja saps que és perfecta per aquesta fórmula.

La fórmula ∫f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C apareix constantment en exàmens. Recorda que sempre que tinguis la derivada d'una funció dividida per la mateixa funció, el resultat és el logaritme natural.

Consell clau: Practica identificant quin tipus d'integral tens davant abans de començar a resoldre. Això t'estalviarà molt temps!

$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Integració per Parts

Aquest mètode és el teu millor amic quan has d'integrar un producte de funcions o funcions "famoses" com xe^x.

La fórmula màgica és ∫u dv = u·v - ∫v du. El truc està en triar bé què és u (que derivaràs) i què és dv (que integraràs). Normalment, fes que u sigui la part més fàcil de derivar.

Vegem l'exemple ∫xe^x dx: tries u = x $derivada = 1$ i dv = e^x $integral = e^x$ . Apliques la fórmula i obtens xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C.

Recorda: Si la integral es complica més després d'aplicar la fórmula, prova canviant l'elecció de u i dv!

$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Integració de Funcions Racionals - Arrels Simples

Les funcions racionals $P(x)/Q(x)$ semblen complicades, però tenen un mètode molt sistemàtic.

Primer, comprova que el grau de P(x) sigui menor que el de Q(x). Si no ho és, divideix primer. Després, factoritza Q(x) = 0 per trobar les arrels.

Quan totes les arrels són simples (no repetides), pots descomposar la fracció: P(x)/ $(x-a)(x-b)$ = A/ $x-a$ + B/ $x-b$ . Per trobar A i B, multiplica tot per el denominador i substitueix valors estratègics de x.

A l'exemple ∫dx/ $x²+2x-3$ , factoritzem x²+2x-3 = $x-1$ $x+3$ . Descomponent i substituint x=1 i x=-3, obtenim A=1/4 i B=-1/4.

Estratègia d'examen: Sempre comprova que les arrels que trobes siguin correctes substituint-les a l'equació original!

$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Arrels Múltiples

Quan una arrel es repeteix (té multiplicitat), la descomposició canvia lleugerament.

Per una arrel doble com $x-c$ ², necessites termes amb $x-c$ ² i $x-c$ ¹. Si tens P(x)/ $(x-a)(x-c)²$ , la descomposició serà A/ $x-a$ + B/ $x-c$ ² + C/ $x-c$ .

A l'exemple amb $3x²+4x+5$ / $(x+2)(x-1)²$ , substituint x=1 obtens B=4, amb x=-2 obtens A=1, i amb qualsevol altre valor $com x=0$ pots trobar C=2.

La part múltiple sempre va baixant graus fins arribar a grau 1. Això és clau per no perdre cap terme en la descomposició.

Important: Les arrels múltiples apareixen sovint en problemes d'examen, així que practica aquest mètode fins que el dominis!

$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Numerador de Grau Major

Quan el grau del numerador és major o igual al del denominador, primer has de fer una divisió polinòmica.

Divideixes P(x) entre Q(x) per obtenir P(x) = C(x)·Q(x) + R(x), on C(x) és el quocient i R(x) el residu. Això et dona P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x).

A l'exemple $x⁵+x⁴-8$ / $x³-4x$ , després de dividir obtens x²+x+4 + $4x²+16x-8$ / $x³-4x$ . Integres cada part per separat: la polynomial directament i la racional com hem après abans.

Recorda que pots dividir integrals quan hi ha sumes: ∫ $x²+x+4$ dx = ∫x²dx + ∫xdx + ∫4dx.

Consell pràctic: Sempre comprova la divisió multiplicant el quocient pel divisor i sumant el residu per veure si recuperes el dividend original!

$MATES INTEGRALS INTEGRALS PRIMITIVES INMEDIATES @$\int (f(e(x)))^r \cdot f(x) \, dx = \frac{(f(x))^{r+1}}{r+1} +C$ こ$\int \frac{f'(x)}{f($

Canvi de Variable i Identitats Trigonomètriques

El canvi de variable és perfecte quan veus una funció i la seva derivada juntes en la integral.

A ∫2x∛ $x²+5$ dx, fas t = x²+5, per tant dt = 2x dx. La integral es converteix en ∫∛t dt = ∫t^(1/3) dt, molt més fàcil de resoldre. Al final, substitueixes t pel seu valor original.

Les identitats trigonomètriques són essencials per resoldre integrals amb funcions trigonomètriques:

Suma i diferència: sin(α±β), cos(α±β), tg(α±β)
Angle doble: sin(2t) = 2sin(t)cos(t), cos(2t) = cos²t - sin²t
Angle meitat: expressions amb t/2

La identitat fonamental sin²t + cos²t = 1 i 1 + tg²t = 1/cos²t apareixen constantment en problemes d'integració.

Recordatori: El canvi de variable funciona millor quan pots identificar clarament una funció composada amb la seva derivada present!

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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Integrals: Aprèn Matemàtiques Fàcilment

Ana

@ana_fxka

Les integrals són una eina fonamental del càlcul que t'ajudarà a resoldre problemes de física i matemàtiques avançades. Aquí trobaràs tots els mètodes essencials que necessites dominar: des de les primitives immediates fins a les tècniques més avançades com la... Mostrar más

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Recorda: Si la integral es complica més després d'aplicar la fórmula, prova canviant l'elecció de u i dv!

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Les funcions racionals $P(x)/Q(x)$ semblen complicades, però tenen un mètode molt sistemàtic.

Primer, comprova que el grau de P(x) sigui menor que el de Q(x). Si no ho és, divideix primer. Després, factoritza Q(x) = 0 per trobar les arrels.

A l'exemple ∫dx/ $x²+2x-3$ , factoritzem x²+2x-3 = $x-1$ $x+3$ . Descomponent i substituint x=1 i x=-3, obtenim A=1/4 i B=-1/4.

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Quan una arrel es repeteix (té multiplicitat), la descomposició canvia lleugerament.

Per una arrel doble com $x-c$ ², necessites termes amb $x-c$ ² i $x-c$ ¹. Si tens P(x)/ $(x-a)(x-c)²$ , la descomposició serà A/ $x-a$ + B/ $x-c$ ² + C/ $x-c$ .

A l'exemple amb $3x²+4x+5$ / $(x+2)(x-1)²$ , substituint x=1 obtens B=4, amb x=-2 obtens A=1, i amb qualsevol altre valor $com x=0$ pots trobar C=2.

La part múltiple sempre va baixant graus fins arribar a grau 1. Això és clau per no perdre cap terme en la descomposició.

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Quan el grau del numerador és major o igual al del denominador, primer has de fer una divisió polinòmica.

Divideixes P(x) entre Q(x) per obtenir P(x) = C(x)·Q(x) + R(x), on C(x) és el quocient i R(x) el residu. Això et dona P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x).

A l'exemple $x⁵+x⁴-8$ / $x³-4x$ , després de dividir obtens x²+x+4 + $4x²+16x-8$ / $x³-4x$ . Integres cada part per separat: la polynomial directament i la racional com hem après abans.

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El canvi de variable és perfecte quan veus una funció i la seva derivada juntes en la integral.

A ∫2x∛ $x²+5$ dx, fas t = x²+5, per tant dt = 2x dx. La integral es converteix en ∫∛t dt = ∫t^(1/3) dt, molt més fàcil de resoldre. Al final, substitueixes t pel seu valor original.

Les identitats trigonomètriques són essencials per resoldre integrals amb funcions trigonomètriques:

Suma i diferència: sin(α±β), cos(α±β), tg(α±β)
Angle doble: sin(2t) = 2sin(t)cos(t), cos(2t) = cos²t - sin²t
Angle meitat: expressions amb t/2

La identitat fonamental sin²t + cos²t = 1 i 1 + tg²t = 1/cos²t apareixen constantment en problemes d'integració.

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