Leyes de Kepler y Gravitación Universal

Las leyes de Kepler son tres reglas que describen cómo se mueven los planetas y cualquier objeto que orbite por gravedad. La primera ley establece que las órbitas son elípticas con el Sol en uno de los focos (no círculos perfectos como muchos piensan).

La segunda ley es súper práctica: el área que barre el radio que une el Sol con el planeta es constante por unidad de tiempo. Esto significa que cuando un planeta está más cerca del Sol, va más rápido.

La tercera ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en completar su órbita (período) con su distancia al Sol: los cuadrados de los períodos son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores.

¡Dato curioso! Estas leyes no solo funcionan para planetas, también para satélites artificiales como el GPS de tu móvil.

La ley de gravitación universal de Newton explica el "por qué" detrás de Kepler: F = -GMm/r². Esta fuerza siempre es atractiva y actúa en la línea que une dos masas. Las fuerzas centrales como la gravedad tienen dirección radial desde un centro fijo y su valor solo depende de la distancia.

Momento de Fuerza y Momento Angular

El momento de una fuerza respecto a un punto se calcula como M = r × F. Su magnitud es la fuerza multiplicada por la distancia perpendicular al punto de referencia. Cuando los vectores posición y fuerza son paralelos (como en fuerzas centrales), el momento es cero.

El momento angular para una partícula es L = r × p, donde p es el momento lineal (mv). Sus unidades son kg·m²/s. Cuando la posición y velocidad son perpendiculares (órbita circular), su módulo es L = rmv.

Ambos momentos son vectores perpendiculares al plano formado por r y F (o p), y siguen la regla del tornillo. Su valor depende del punto de referencia que elijas.

Recuerda: Los momentos son magnitudes vectoriales que siempre se calculan respecto a un punto específico.

La ecuación fundamental es dL/dt = M. Esto implica que si el momento de fuerza es cero, el momento angular se conserva. Esta conservación es clave para demostrar las leyes de Kepler y entender por qué las órbitas son planas.

Conservación del Momento Angular y Demostración de Kepler

La conservación del momento angular es fundamental: cuando M = 0, entonces L = constante. En fuerzas centrales como la gravedad, el momento de fuerza es cero porque r y F son paralelos.

Demostración de la 1ª ley: Como L es constante en dirección, r y v están siempre en el mismo plano. Esto demuestra que las órbitas son planas, no tridimensionales.

Demostración de la 2ª ley: El área diferencial barrida es dA = ½|r × dr|. La velocidad areolar es dA/dt = ½|r × v| = |L|/(2m). Como L es constante, la velocidad areolar también lo es.

Truco de examen: En órbitas elípticas, usa la conservación de L en los puntos más cercano y lejano: mrₐvₐ = mrₚvₚ.

En los puntos de máximo alejamiento (afelio) y acercamiento (perihelio), los vectores posición y velocidad son perpendiculares. La conservación del momento angular nos dice que cuanto más cerca está el planeta del Sol, mayor es su velocidad.

Para problemas prácticos, puedes calcular la velocidad areolar como: área total de la órbita dividida por el período $πr²/T para círculos, πab/T para elipses$.

Campos de Fuerza Conservativos y Energía Potencial

Los campos conservativos son especiales porque conservan la energía mecánica. Una fuerza es conservativa cuando: el trabajo en trayectoria cerrada es cero, el trabajo entre dos puntos no depende del camino, y existe una función potencial.

Para entender mejor, compara la gravedad (conservativa) con el rozamiento (no conservativa). Si subes y bajas un objeto con gravedad, regresa con la misma energía cinética. Con rozamiento, siempre pierde energía.

La energía potencial (Ep) es la energía almacenada por estar en cierta posición donde hay fuerzas conservativas. Solo existe para fuerzas conservativas y es un escalar, lo que facilita muchísimo los cálculos.

Fórmula clave: ΔEp = -W (el trabajo realizado por fuerzas conservativas)

Matemáticamente: W = ∫F·dr = Ep₁ - Ep₂ = -ΔEp. La gran ventaja es que para calcular trabajo entre dos puntos, usas una simple resta de escalares en lugar de integrales vectoriales complejas.

La energía potencial no tiene expresión general como la cinética; depende del tipo de fuerza conservativa (gravitatoria, elástica, etc.).

Energía Mecánica y Energía Potencial Gravitatoria

La energía mecánica es Em = Ec + Ep. Cuando todas las fuerzas son conservativas, se cumple el teorema de conservación: ΔEm = 0. Esto significa que la suma de energías cinética y potencial permanece constante.

Para la energía potencial gravitatoria entre dos masas, tomamos como referencia el infinito $Ep(∞) = 0$. La expresión resultante es: Ep(r) = -GMm/r.

Esta energía siempre es negativa en gravitación. Físicamente representa el trabajo que realizaría el campo para llevar la partícula desde esa posición hasta el infinito, o el trabajo que debemos hacer contra el campo para traerla desde el infinito.

Interpretación de signos: ΔEp positiva = trabajo contra el campo; ΔEp negativa = trabajo realizado por el campo.

Deducción: Ep(r) = -∫F dr = -∫$-GMm/r²$ dr = $-GMm/r$∞ʳ = -GMm/r

Los signos son importantes: cuando ΔEp es positiva, el trabajo se realiza externamente contra el campo (como lanzar una piedra hacia arriba). Cuando es negativa, el trabajo lo realiza el campo (como una piedra que cae).

En la superficie terrestre, para alturas pequeñas usamos la aproximación Ep = mgh, donde g = GM/R² y h << R.

Movimiento Orbital y Velocidades Características

Para resolver problemas orbitales, ten cuidado con las unidades y conceptos: diferencia entre radio de órbita y altura sobre la superficie $Rórbita = Rsuperficie + h$, y entre diámetro y radio.

Velocidad orbital: Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta: Fg = Fc → v = √$GM/Ro$. El período se obtiene de v = 2πRo/T, resultando en T² = 4π²Ro³/GM (tercera ley de Kepler).

La tercera ley permite determinar masas de cuerpos celestes conociendo el período y radio orbital de sus satélites.

Velocidades importantes: Orbital, de lanzamiento, de escape y de satelización.

Velocidad de escape: Es la velocidad mínima para escapar completamente del campo gravitatorio. Aplicando conservación de energía: ve = √$2GM/R$. Para la Tierra: ve = 11,2 km/s.

Velocidad de lanzamiento para alcanzar altura h: vL = √$2GM(1/R - 1/(R+h))$.

Velocidad de satelización: Para poner un objeto en órbita a distancia Ro desde distancia R: vs = √$2GM(1/R - 1/(2Ro))$.

Energía Orbital y Campo Gravitatorio

En órbita circular estable, igualando Fc y Fg obtenemos expresiones útiles:

• Ec = ½GMm/Ro (siempre positiva)
• Em = -½GMm/Ro (siempre negativa, la mitad de Ep en valor absoluto)

En órbitas elípticas, Ec varía pero Em permanece constante por conservación de energía. Para cambiar de órbita necesitas aportar la diferencia de energías mecánicas.

El campo gravitatorio es un vector que representa la "fuerza por unidad de masa": g = F/m = -GM/r² û. Sus unidades son N/kg o m/s². En la superficie terrestre, |g| = 9,8 m/s².

Campo vs Potencial: El campo es vectorial, el potencial es escalar y más fácil de manejar.

El potencial gravitatorio es un escalar: V = -GM/r $J/kg$. La diferencia de potencial es ΔV = -GM$1/rB - 1/rA$.

Relación campo-potencial: El gradiente del potencial es el campo cambiado de signo: grad V = -g. El campo apunta en la dirección donde el potencial disminuye más rápidamente y es perpendicular a las superficies equipotenciales.