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Matemáticas936Actualizado 25 sept 20264 páginas

El campo gravitatorio para 2º Bachillerato

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Carmen@carr
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El campo gravitatorio es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y explica la atracción entre masas. Esta fuerza, descrita matemáticamente por Newton, rige desde el movimiento de los planetas hasta la caída de una manzana, siendo crucial para entender el comportamiento de los objetos en el universo.
Campo gravitatorio 2⁰ bach – página 1

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Campo gravitatorio

La fuerza gravitatoria es una fuerza de atracción que actúa a distancia y se describe mediante la Ley de gravitación universal de Newton. Esta ley establece que dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

La expresión matemática es Fg=G⋅Ma⋅Mbr2F_g = G \cdot \frac{M_a \cdot M_b}{r^2}, donde GG es la constante universal de gravitación (6,67⋅10−116,67 \cdot 10^{-11} N·m²/kg²). Es importante recordar que esta fuerza tiene carácter vectorial, por lo que su expresión completa incluye la dirección: Fg⃗=−G⋅Ma⋅Mbr2⋅r⃗r\vec{F_g} = -G \cdot \frac{M_a \cdot M_b}{r^2} \cdot \frac{\vec{r}}{r}.

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} se define como la fuerza por unidad de masa testigo que se ejerce en cada punto del espacio: g⃗=Fgm\vec{g} = \frac{F_g}{m} (N/kg). Para una masa puntual, su expresión es g⃗=−G⋅mr2⋅r⃗\vec{g} = -G \cdot \frac{m}{r^2} \cdot \vec{r}.

💡 La expresión del trabajo en un campo gravitatorio (WAB=F⃗⋅Δl⃗W_{AB} = \vec{F} \cdot \Delta\vec{l}) será fundamental para comprender conceptos energéticos más avanzados como la energía potencial y el potencial gravitatorio.

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Energía Potencial Gravitatoria

La energía potencial gravitatoria está relacionada con el trabajo mediante la expresión W=−ΔEp=Ep0−EpfW = -\Delta E_p = E_{p_0} - E_{p_f}. Esta energía representa la capacidad de realizar trabajo que tiene un cuerpo debido a su posición en un campo gravitatorio, y se mide en julios (J).

El potencial gravitatorio VgV_g se define como la energía potencial por unidad de masa (J/kg) y viene dado por Vg=−G⋅MrV_g = -G \cdot \frac{M}{r}. Para el campo gravitatorio terrestre, podemos utilizar aproximaciones según la altura: para alturas pequeñas Ep=m⋅g⋅hE_p = m \cdot g \cdot h, mientras que para alturas grandes Ep=−G⋅MT⋅mrE_p = -G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r}.

En ausencia de fuerzas externas, se cumple el principio de conservación de la energía mecánica: Ec0+Ep0=Ecf+EpfE_{c_0} + E_{p_0} = E_{c_f} + E_{p_f}, donde Ec=12⋅m⋅v2E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 representa la energía cinética. Si actúan fuerzas no conservativas, entonces Wnc=Emf−Em0=ΔEmW_{nc} = E_{m_f} - E_{m_0} = \Delta E_m (teorema de las fuerzas vivas).

🌟 Recuerda que la conservación de la energía mecánica es clave para resolver problemas de movimiento en campos gravitatorios sin necesidad de analizar las fuerzas en cada instante.

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Superficies equipotenciales y movimientos orbitales

Las superficies equipotenciales son aquellas donde el potencial gravitatorio es constante. La relación entre el campo gravitatorio y la variación de potencial viene dada por g⃗⋅dl⃗=−dV\vec{g} \cdot d\vec{l} = -dV, lo que significa que el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies equipotenciales.

La velocidad orbital de un satélite en órbita circular se calcula mediante vorb=G⋅MTrv_{orb} = \sqrt{G \cdot \frac{M_T}{r}}, donde MTM_T es la masa del cuerpo central (como la Tierra) y rr la distancia al centro. Esta expresión resulta del equilibrio entre la fuerza centrípeta y la gravitatoria.

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es Em=−12⋅G⋅MT⋅msrE_m = -\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{M_T \cdot m_s}{r}, siendo siempre negativa en órbitas estables. Para poner un satélite en órbita, necesitamos realizar un trabajo que se calcula mediante Epuesta en oˊrbita=G⋅MT⋅m⋅(1rT−12r)E_{puesta\ en\ órbita} = G \cdot M_T \cdot m \cdot (\frac{1}{r_T} - \frac{1}{2r}).

🚀 Cuando un satélite cambia de órbita, el trabajo no conservativo necesario depende solo de las posiciones inicial y final, no de la trayectoria seguida: Wnc=12⋅G⋅MT⋅ms⋅(1r0−1rf)W_{nc} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot M_T \cdot m_s \cdot (\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_f}).

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