La continuidad de funciones en matemáticas es un concepto fundamental que nos ayuda a entender cómo se comportan las funciones en diferentes puntos de su dominio. Una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel, es decir, cuando no hay "saltos" ni "huecos" en su representación.
Para que una función sea continua, debe cumplir tres condiciones de continuidad de una función: debe existir el límite de la función cuando nos acercamos al punto que queremos estudiar, el punto debe pertenecer al dominio de la función, y el valor del límite debe ser igual al valor de la función en ese punto. Cuando alguna de estas condiciones no se cumple, nos encontramos con diferentes tipos de discontinuidad en funciones. Las discontinuidades pueden ser evitables (cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función), de salto finito (cuando existen los límites laterales pero son diferentes entre sí), o de salto infinito (cuando al menos uno de los límites laterales es infinito).
Es importante comprender que la continuidad nos permite predecir el comportamiento de una función cerca de cualquier punto. Por ejemplo, si una función es continua en un intervalo cerrado, sabemos que tomará todos los valores intermedios entre el valor inicial y final del intervalo (Teorema del Valor Intermedio). Además, las funciones continuas son especialmente útiles en aplicaciones prácticas, como el modelado de fenómenos físicos, económicos o biológicos, donde los cambios suelen ocurrir de manera gradual y no abrupta. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) entre funciones continuas también dan como resultado funciones continuas, lo que nos permite construir funciones más complejas manteniendo la propiedad de continuidad.
